Természetes számok

Természetes számoknak nevezik

• a nemnegatív egész számokat, tehát a 0, 1, 2, 3, 4 … számtani sorozat tagjait,^[1][2][3]
• más értelmezés szerint a pozitív egész számokat, tehát az 1, 2, 3, … számtani sorozat tagjait.^[4]

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatban.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér ${\displaystyle \mathbf {N} }$ vagy „blackboard bold” (kontúros) ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (Unicode: U+2115) betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának megszámlálhatóan végtelen számú eleme van.

A természetes számok az összeadásra és a szorzásra kommutatív félgyűrűt alkotnak.

Történelmi vonatkozások

A „természetes” elnevezés eredete

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a 19. század végén alakult ki. R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy 1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen).^[5] Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében^[6] (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m.^[7] XI. Suppl. 436. l.”).

Természetes szám-e a nulla?

A szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:

„természetes számok: pozitív egész számok;”^[8]

„A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.”^[9]

„Tegyük fel, hogy ${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$, és

i) ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$,

ii) minden ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ esetében ${\displaystyle (n+1)\subset A}$.

Ekkor ${\displaystyle A=\mathbb {N} }$.

...

... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló

${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}:=\mathbb {N} \cup \{0\}}$   jelölést.”^[10]

A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ vagy ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ szimbólummal jelölik^[forrás?]; az ${\displaystyle \mathbb {N} }$ jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

Jellemző, hogy G. Peano, akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól, Formulaire de mathématiques II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említett N₀ és N₁ jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére.^[11]

A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika

Bővebben: Peano-aritmetika

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

A PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel (egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a ${\displaystyle \cdot }$ függvényjel, ami a szorzás.

A PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n' ${\displaystyle \neq }$ 0

(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)

(P2) n' = m' ${\displaystyle \Rightarrow }$ n = m

(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)

(P3) n + 0 = n

(a nulla alaptulajdonsága)

(P4) n + m' = (n + m)'

(összeg rákövetkezője)

(P5) n ${\displaystyle \cdot }$ 0 = 0

(nullával való szorzás)

(P6) n ${\displaystyle \cdot }$ m' = (n ${\displaystyle \cdot }$ m) + n

("elődisztributivitás")

(P7) ( F(0) & (F(n) ${\displaystyle \Rightarrow }$ F( n' ) ) ) ${\displaystyle \Rightarrow }$ F(n)

(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

${\displaystyle 0\neq 1}$

A természetes számok a halmazelméletben

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0, ', +, ${\displaystyle \cdot }$) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N${\displaystyle \rightarrow }$ N függvény, +:N ${\displaystyle \times }$ N ${\displaystyle \rightarrow }$ N, és ${\displaystyle \cdot }$:N ${\displaystyle \times }$ N ${\displaystyle \rightarrow }$ N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

Standard modell

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

${\displaystyle \{\emptyset ,\;\{\emptyset \},\;\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\;\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\},\ldots \}}$

halmaz. Itt rendre

${\displaystyle 0:=\emptyset }$

${\displaystyle 1:=\{\emptyset \}=\{0\}}$

${\displaystyle 2:=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}=\{0,1\}}$

${\displaystyle 3:=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}=\{0,1,2\}}$

${\displaystyle \ldots \,}$

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

${\displaystyle \aleph _{0}}$

(alef null – itt ${\displaystyle \aleph }$ a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

${\displaystyle \omega \,}$

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

Algebrai tulajdonságok

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúrát a természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát a természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.

Axiomatizálás

Először Richard Dedekind definiálta axiómákkal a természetes számokat 1888-ban implicit módon.^[12] Ettől függetlenül Giuseppe Peano 1889-ben egyszerűbb és formálisan precíz axiómarendszert adott meg.^[13][14] Ezeket a Peano-axiómákat elterjedten használják. Mivel az eredetihez másodfokú predikátumlogika szükséges, azért használják ennek gyengébb változatát, a Peano-aritmetikát.^[15] Más, hasonló axiómarendszerek a Robinson-aritmetika és a primitív rekurzív aritmetika.

A természetes számok definiálhatók a Peano-axiomákkal. Ekkor a természetes számok halmaza az, ami eleget tesz a Peano-axiómáknak. Végtelen sok halmaz van, ami megfelel ezeknek a kritériumoknak, de ezek csak a jelölésben különböznek, a viselkedésük ugyanaz. A matematikában ezt izomorfiának nevezik. Ezt az eredményt Dedekind-féle egyértelműségi tételnek nevezik. Emiatt lehetséges a természetes számokról beszélni.

Neumann János modellje

Neumann Jánosnak sikerült a természetes számokat halmazokkal ábrázolnia, azaz megalkotta a természetes számok halmazelméleti modelljét:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}0&:=&&&&\quad \ \emptyset \\1&:=0'&&=\{0\}&&=\{\emptyset \}\\2&:=1'&&=\{0,1\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\\3&:=2'&&=\{0,1,2\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\\&\vdots &&&&\\(n+1)&:=n'&&=\{0,1,\ldots ,n\}&&=n\cup \{n\}\end{alignedat}}}$

A kiindulási elem a „0“ a ${\displaystyle \emptyset }$ üres halmaz. Az „1“ az az egyelemű halmaz, aminek egyetlen eleme a nulla. Ez különbözik az üres halmaztól, mivel annak nulla eleme van.

A rákövetkezési reláció azt a halmazt adja, ami tartalmazza az adott halmaz összes elemét, és a halmazt is. Más szavakkal, az adott halmaz és az azt egyelemű halmazként tartalmazó halmaz uniója. Ez utóbbi diszjunkt az adott halmaztól, így minden halmaz különbözik az előzőtől, tehát a rákövetkező reláció injektív.

Az egyes természetes számok létezését már a gyenge halmazelméleti axiómák biztosítják. A természetes számok ${\displaystyle \mathbb {N} }$ vagy ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ halmazának létezéséhez a Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerben egy külön axiómának, a végtelenségi axióma biztosítja.

A konstrukció további folytatása, illetve további megelőző számok nélküli számok definiálása a rendszámokat hozza létre.

A valós számok részhalmaza

A természetes számok definiálhatók induktívan, a valós számok közül kiválasztva.^[16]

A valós számok egy ${\displaystyle M}$ részhalmaza induktív, ha teljesíti a következőket:

1. 0 eleme ${\displaystyle M}$-nek
2. Ha ${\displaystyle x}$ eleme az ${\displaystyle M}$ halmaznak, akkor ${\displaystyle x+1}$ is eleme az ${\displaystyle M}$ halmaznak.

Ekkor ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ az ${\displaystyle \mathbb {R} }$ induktív halmazainak metszete.

További információk

• Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz