Kinetikus gázelmélet

A kinetikus gázelmélet a gázok makroszkopikus, termodinamikai tulajdonságait az azt alkotó atomok és molekulák mozgása alapján magyarázza, elemi statisztikus meggondolások segítségével. Az alkotórészek mérete kicsi a köztük lévő távolsághoz képest és kölcsönhatásukat első közelítésben csupán a közöttük és a gázt tartalmazó tartály fala közötti rugalmas ütközések jelentik. A részecskék mozgása minden irányban egyenlő valószínűségű. Az elmélet a tartály falával történő ütközésekből levezeti a gáz nyomását, valamint a részecskék átlagos mozgási sebességével hozza kapcsolatba a hőmérsékletet, az ekvipartíció-tétel segítségével pedig a fajhőt is meghatározza. ^[1]

A gázok hőmozgása a kinetikus gázelmélet szerint

Alapfeltevés

Lásd: Brown-mozgás (hőmozgás): a porszemcsék állandóan szabálytalan zegzugos mozgást végeznek, amely a hőmérséklettel élénkebbé válik.

A kinetikus gázelmélet alapfeltevése szerint a gáz közönséges körülmények között rendkívül nagy számú molekulából áll amelyek teljesen rendezetlenül, igen nagy sebességgel repülnek mindenfelé. Ezzel magyarázható, hogy a gáz a rendelkezésre álló, a molekulák sajáttérfogatához képest igen nagy térfogatú teret teljesen betölti. Említésre méltó kölcsönhatás csak akkor jön létre, amikor egy-egy molekula eléggé közel jut egymáshoz.^[2]

Az ideális gáz nyomása

V térfogatú edénybe n számú, egyenként μ tömegű molekula van zárva.

A gáz tömege ${\displaystyle m=n\mu }$, a gáz sűrűsége ${\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}={\frac {n\mu }{V}}=N\mu }$, ahol ${\displaystyle N={\frac {n}{V}}}$ a molekulakoncentráció.

Feltételezve, hogy:

• mindegyik molekula sebességének nagysága (ugyanakkora) ${\displaystyle v}$
• derékszögű hasáb alakú edényben a molekulák 1-1 harmada a hasáb oldaléleivel párhuzamosan mozog (egy másik lapra merőlegesen)

a kinetikus gázelmélet alapegyenlete:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}N\mu {\bar {v^{2}}}={\frac {1}{3}}\rho {\bar {v^{2}}}={\frac {n}{V}}\mu {\bar {v^{2}}}}$.

A hőmérséklet molekuláris jelentése

Az előzőek szerint ${\displaystyle pV={\frac {1}{3}}n\mu {\bar {v^{2}}}}$. Ezt az ideális gáztörvénnyel összevetve a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mu {\bar {v_{0}^{2}}}={\frac {3}{2}}kT}$, ahol k a Boltzmann-állandó.

A gázmolekulák sebességeloszlása

A hőmérsékletre vonatkozó egyenletből kapjuk, hogy ${\displaystyle ({\sqrt {\bar {v_{0}^{2}}}}\equiv )\ v={\sqrt {\frac {3p}{\rho }}}={\sqrt {3RT}}={\sqrt {\frac {3kT}{\mu }}}}$.

A sebességeloszlási törvény analitikai alakja (Maxwell-féle sebességeloszlási törvény):

${\displaystyle {\frac {\Delta n}{n}}={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\biggl (}{\frac {\mu }{2kT}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}v^{2}e^{{\bigl (}-{\frac {\mu v^{2}}{2kT}}{\bigr )}}\Delta v}$

és a legvalószínűbb sebesség a

${\displaystyle v_{max}={\sqrt {2RT}}\ \ {\biggl (}={\frac {2}{3}}v{\biggl )}}$.

Az energia egyenletes eloszlása, az ekvipartíció tétele

${\displaystyle E_{kin}={\frac {1}{2}}m{\bar {v^{2}}}={\frac {f}{2}}kT}$, ahol ${\displaystyle f}$ a szabadsági fokok száma. Ez azt jelenti, hogy mindegyik szabadsági fokra átlagosan ${\displaystyle {\frac {1}{2}}kT}$ energia jut.