Modulus (matematika)

A modulus az algebrai struktúrák egy fajtája, a vektortér fogalmának általánosítása, lazítása, gyengítése, amely bizonyos vektortéraxiómák elhagyásával keletkezik. Egy gyűrű feletti modulus viszonya a gyűrűhöz ahhoz hasonlít, mint egy test feletti vektortér viszonya a testhez. Az algebrában a modulusoknak számos alkalmazása van többek közt a csoportelméletben, a gyűrűelméletben és az algebrai geometriában.

A modulust egy olyan vektortérként foghatjuk fel, ahol a skalárok nem testet, hanem csak gyűrűt alkotnak.

Definíció

Legyen adva egy ${\displaystyle R}$ gyűrű, és legyen ${\displaystyle (M,+)}$ Abel-csoport. Tegyük fel, hogy létezik egy ${\displaystyle *:R\times M\mapsto M}$ „szorzás” művelet (ez fogja a vektorok skalárral való szorzásának szerepét kapni, egymás mellé írással jelöljük). Az ${\displaystyle M}$-et bal oldali ${\displaystyle R}$-modulusnak nevezzük, ha az előbbi műveletek teljesítik a következő kritériumokat:

Legyenek ${\displaystyle r,s\in R}$ és ${\displaystyle n,m\in M}$. Ekkor:

• ${\displaystyle r(n+m)=rn+rm}$,
• ${\displaystyle (r+s)n=rn+sn}$,
• ${\displaystyle r(sn)=(rs)n}$.

Ha ${\displaystyle R}$ egységelemes gyűrű, akkor ${\displaystyle M}$-et unitér modulusnak nevezzük, ha

• ${\displaystyle 1n=n}$

Hasonlóan értelmezzük a jobb oldali modulust, ekkor a szorzás a másik oldalról történik. Vannak kétoldali modulusok, ezek egyszerre bal és jobb oldali modulusok, tehát a jobb oldali szorzás ugyanaz, mint a bal oldali szorzás (szokás ezt bimodulusnak is nevezni).

Példák

• Legyen ${\displaystyle A}$ egy Abel-csoport. Ez modulussá tehető ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ egész számok halmaza^[1] felett a következő szorzásművelettel. Legyen ${\displaystyle a\in A,n\in \mathbb {Z} }$ és ekkor ${\displaystyle n*a=a*n=a+\dots +a\,}$ ${\displaystyle n}$-szer. Ha ${\displaystyle n}$ negatív, akkor értelem szerint ${\displaystyle a^{-1}}$-nek kell az ${\displaystyle n}$-szeres összegét venni, ha pedig ${\displaystyle n=0}$, akkor ${\displaystyle 0*a=1_{A}}$. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban modulus.

• Legyen ${\displaystyle R=\mathbb {R} ^{n\times n}}$, tehát az ${\displaystyle n\times n}$-es valós mátrixok (az összeadással és a mátrixszorzással mint két művelettel), és legyen ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$, és értelmezzük a szorzást így: minden ${\displaystyle X\in R,v\in M}$ esetén ${\displaystyle X*v=Xv}$, tehát a közönséges mátrix-vektor szorzás. Ez egy bal oldali modulus, de nem kétoldali, ugyanis általában ${\displaystyle Xv\not =vX}$.

Irodalom

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába (Typotex Kiadó, 2007) Modulusok fejezet. (A Google Könyvekben is elérhető.) ISBN 978 963 9664 48 7

• Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába ^{[halott link]} PDF