Modus ponens

A modus ponens, más néven a leválasztás szabálya a matematikában egy egyszerű bizonyítási módszer. Ennek alkalmazásával már bizonyított állításokból és tételekből következtethetünk újabb kijelentések igazságtartalmára.

A szabály

Legyen Γ valamely ítéletek összessége, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ pedig ebből levezethető állítás. Ekkor ha ${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}}$ is levezethető (azaz igaz), akkor ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ szintén levezethető állítás.^[1]

Bizonyítás

Legyen az ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ levezetése az ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {A}}_{3}\dots {\mathcal {A}}_{n})}$ sorozat, ahol minden egyes tag vagy axióma, vagy pedig ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}\equiv {\mathcal {A}}_{i}\Rightarrow {\mathcal {A}}_{k},\,1\leq i,j<k}$ következtetés. Hasonlóan az ${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}}$ levezetése a ${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{1},{\mathcal {B}}_{2},{\mathcal {B}}_{3},\dots {\mathcal {B}}_{m})}$. Ekkor ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ levezetése az ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {A}}_{3},\dots {\mathcal {A}}_{n},{\mathcal {B}}_{1},{\mathcal {B}}_{2},{\mathcal {B}}_{3}\dots {\mathcal {B}}_{m},{\mathcal {B}})}$, mivel ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{m}\equiv ({\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}})}$.