Számelméleti függvények

Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis ${\displaystyle f:\ \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ alakú függvényekről van szó.

Példák

Rengetegféle számelméleti függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány nevezetes függvény nevét (ha van) és jelét foglaljuk össze. (A továbbiakban jelölje ${\displaystyle \mathbb {P} }$ a pozitív prímszámok halmazát.)

Egész értékű számelméleti függvények

jel	név (nevek)	jelentés	definitív képlet(ek)
d(n)	osztószám-függvény	az argumentum osztóinak száma	${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}\rightarrow \mathbb {N}$ ;} ${\displaystyle d(n)}$ := ${\displaystyle |\{k\in \mathbb {N} \ |\ k|n\}|}$ := ${\displaystyle \sum _{d|n}d^{0}}$
σ(n)	osztóösszeg-függvény (szigma-függvény)	az argumentum osztóinak összege	${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ;\ \sigma (n)\ :=\ \sum _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{d|n}\\{\mbox{ }}_{1\leq d\leq n}\end{matrix}}d}
s(n)	valódiosztóösszeg-függvény	az argumentum valódi osztóinak összege	${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ;\ s(n)\ :=\ \sum _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{d|n}\\{\mbox{ }}_{1\leq d<n}\end{matrix}}d}
σx(n)	osztóhatványösszeg- függvény	az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege	${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$; ${\displaystyle \sigma _{x}(n)}$ ${\displaystyle$ :=} ${\displaystyle \sum _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{d|n}\\{\mbox{ }}_{1\leq d\leq n}\end{matrix}}d^{x}}$ (x∈R)
P(n)	osztószorzat-függvény	az argumentum osztóinak szorzata	${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ;\ P(n)\ :=\ \prod _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{d|n}\\{\mbox{ }}_{1\leq d\leq n}\end{matrix}}d}
ν(n)	nű-függvény	az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva)	–
χ(n)	khí-függvény	az argumentum különböző prímtényezőinek száma	${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}\rightarrow \mathbb {N}$ ;} ${\displaystyle \chi (n)}$ := ${\displaystyle |\{p\in \mathbb {P} \ |\ p|n\}|}$ := ${\displaystyle \sum _{\begin{matrix}{\mbox{ }}_{p|n}\\{\mbox{ }}_{p\in \mathbb {P} }\end{matrix}}p^{0}}$
φ(n)	Euler-függvény (fí-függvény)	az argumentumhoz relatív prím, nála nem nagyobb pozitív egészek száma	N→N; φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n  ∧  (n, k)=1 }│
μ(n)	Möbius-függvény (mű-függvény)	egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény	${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}\rightarrow \left\{-1,0,1\right\}}$; ${\displaystyle \mu \ (n)}$ ${\displaystyle$ :=} ${\displaystyle {\begin{cases}1,&{\mbox{ha }}n=1;\\(-1)^{\chi (n)},&{\mbox{ha }}n=p_{1}p_{2}...p_{\chi (n)};\\0,&{\mbox{ha}}\ \exists p\in \mathbb {P}$ :\ p^{2}|n{\mbox{.}}\\\end{cases}}}
π(n)	diszkrét prímszámláló függvény	az argumentumnál nem nagyobb prímek száma	N→N; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│
g(n)	lnko-összeg-függvény	az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege	${\displaystyle g(n)\$ :=\ \sum _{i=1}^{n}(n,i)} [1]

Valós értékű számelméleti függvények

• A Λ(n) von Mangoldt-függvény: ${\displaystyle \Lambda (n)\$ :=\ {\begin{cases}\ln p&{\mbox{ha }}\ \exists \left(p,k\right)\in \mathbb {P} \times \mathbb {N} ^{+}:\ n=p^{k};\\0&{\mbox{egy}}{\acute {e}}{\mbox{bk}}{\acute {e}}{\mbox{nt.}}\end{cases}}}

Komplex értékű számelméleti függvények

• A Riemann-féle zéta-függvény
• Ha k pozitív egész, a mod(k) Dirichlet-karakterek fontos speciális függvényosztály.

Fontosabb fogalmak

Additivitás és multiplikativitás

• Egy ${\displaystyle \ f\ }$ számelméleti függvény additív, ha bármely ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \ (a,b)=1\ }$ esetén ${\displaystyle \ f(ab)=f(a)+f(b)\ }$. Ha az ${\displaystyle \ (a,b)=1\ }$ feltétel elhagyható, akkor totálisan additív számelméleti függvényről beszélünk.
• Egy ${\displaystyle \ f\ }$ számelméleti függvény multiplikatív, ha bármely ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \ (a,b)=1\ }$ esetén ${\displaystyle \ f(ab)=f(a)f(b)\ }$. Ha az ${\displaystyle \ (a,b)=1\ }$ feltétel elhagyható, akkor totálisan multiplikatív számelméleti függvényről beszélünk.

Dirichlet-konvolúció (Dirichlet-összeg, konvolúció)

Két számelméleti függvény (Dirichlet-)konvolúcióját így definiálják:

${\displaystyle (f*g)(n):=\sum _{d\mid n}f\!\left({\frac {n}{d}}\right)g(d),\quad n\in \mathbb {N} ,}$

ahol d végigmegy n összes osztóján.

Egy f számelméleti függvény összegfüggvénye megkapható a konstans 1 függvénnyel való konvolválással:

${\displaystyle F(n)=(f*I^{0})(n)=\sum _{d\mid n}f(d),\quad n\in \mathbb {N} .}$

ahol ${\displaystyle I^{0}}$ a konstans 1 függvény.

${\displaystyle I^{0}}$ invertálható a konvolválásra; inverze a Möbius-féle μ függvény. Ebből adódik a Möbius-féle megfordítási képlet, amivel az összegfüggvényből visszanyerhető a függvény.

A konvolúcióra teljesülnek a következők:

• Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív
• Két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója nem biztos, hogy teljesen multiplikatív
• Minden számelméleti függvény invertálható, ami az 1 helyen nem nulla
• Ez az inverz éppen akkor multiplikatív, ha az eredeti függvény is az
• Teljesen multiplikatív függvény inverze nem feltétlenül teljesen multiplikatív
• A konvolúció egységeleme a η függvény, amit így értelmeznek: η(1)=1, és η(n)=0, ha n>1.
• A számelméleti függvények algebrai struktúrája a komponensenkénti összeadásra, a skalárral szorzásra, és a konvolúcióra nézve:
  • komplex vektortér
  • integritási tartomány
  • algebra
• Ennek a struktúrának a multiplikatív csoportját azok a függvények alkotják, amik nem tűnnek el az 1 helyen.
  • Ennek valódi részcsoportja a multiplikatív függvények csoportja.

A konvolúció helyett a komponensenkénti szorzással is kommutatív algebrát alkotnak, ez azonban számelméletileg nem érdekes. Ez az algebra izomorf a komplex számsorozatok algebrájával.

Bell-sorozat

Ha f számelméleti függvény, és p adott prím, akkor f Bell-sorozata így definiálható modulo p:

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

Belátható, hogy két számelméleti függvény azonos, ha összes Bell-sorozatuk megegyezik. Két számelméleti függvény egyenlő akkor és csak akkor, ha:

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$ minden p prímre.

Jelölje most f és g konvolúcióját h. Ekkor minden p prímre:

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

Ezzel könnyű Dirichlet-invertálni a számelméleti függvényeket.

Ha f teljesen multiplikatív, akkor:

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

Néhány számelméleti függvény Bell-sorozata:

• A ${\displaystyle \mu }$ Möbius-függvényé ${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$
• Az Euler-féle ${\displaystyle \phi }$ függvényé ${\displaystyle \phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• A ${\displaystyle \nu }$ függvényé ${\displaystyle \nu _{p}(x)=1.}$
• A ${\displaystyle \lambda }$ Liouville-függvényé ${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• Az Id_k hatványfüggvényé ${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}$ Id_k a teljesen multiplikatív hatványfüggvény: ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$.
• A ${\displaystyle \sigma _{k}}$ osztóösszeg-függvényé ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.}$