Arithmetica

Artikel ini bukan mengenai aritmetika.

Arithmetica (bahasa Yunani: Ἀριθμητικά) adalah teks Yunani Kuno tentang matematika yang ditulis oleh ahli matematika Diofantos (ca 200/214 M–ca 284/298 M) pada abad ke-3 Masehi.^[1] Buku ini adalah kumpulan dari 150 masalah aljabar untuk memberikan solusi numerik dari persamaan determinate (yang memiliki solusi unik) dan persamaan tak tentu.^[2]

Sampul dari edisi tahun 1621, diterjemahkan ke Bahasa Latin dari Bahasa Yunani oleh Claude Gaspard Bachet de Méziriac.
Pengarang	Diofantos

Konten

Persamaan-persamaan dalam buku ini sekarang dikenal sebagai persamaan Diofantin. Metode untuk menyelesaikan persamaan ini dikenal sebagai analisis Diofantin. Sebagian besar masalah Arithmetica mengarah pada persamaan kuadrat.

Dalam Buku 3, Diofantos menyelesaikan permasalahan menemukan nilai yang membuat dua ekspresi linier secara bersamaan memiliki solusi kuadratik atau kubik. Buku 4 membahas perpangkatan rasional pada bilangan-bilangan yang diberikan. Dia juga memperhatikan angka-angka yang berbentuk ${\displaystyle 4n+3}$ tidak bisa berasal dari jumlah dari dua bilangan kuadrat. Diofantos tampaknya juga mengetahui bahwa setiap bilangan dapat ditulis sebagai jumlah dari empat bilangan kuadrat. Jika dia benar-benar mengetahui hasil ini (dalam arti telah membuktikannya dan bukan hanya sekadar menduga-duga), tindakannya itu akan benar-benar luar biasa: bahkan Fermat, yang juga menemukan hasil ini, gagal memberikan bukti. Permasalahan tersebut tidak terbuktikan sampai Joseph Louis Lagrange membuktikannya menggunakan hasil dari Leonhard Euler.

Arithmetica awalnya ditulis dalam tiga belas buku, tetapi manuskrip Yunani yang bertahan hingga saat ini berisi tidak lebih dari enam buku.^[3] Pada tahun 1968, Fuat Sezgin menemukan empat buku Arithmetica yang sebelumnya tidak diketahui di kompleks makam Imam Rezā, di kota Masyhad di bagian timur laut Iran.^[4] Keempat buku tersebut diperkirakan telah diterjemahkan dari bahasa Yunani ke bahasa Arab oleh Qusta bin Luqa (820–912).^[3] Norbert Schappacher telah menulis [diterjemahkan]:

[Empat buku yang hilang] telah muncul kembali sekitar tahun 1971 di Perpustakaan Astan Quds di Meshed (Iran) dalam salinan dari tahun 1198 Masehi. Buku-bukut tersebut tidak dikatalogkan dengan nama Diofantos (tetapi oleh nama Qusta bin Luqa) karena pustakawan disana rupanya tidak dapat membaca baris utama halaman sampul karena tempat nama Diophantus muncul dalam kaligrafi Kufi.^[5]

Arithmetica dikenal oleh para ahli matematika di dunia Islam pada abad kesepuluh^[6] ketika Abul Wafa menerjemahkannya ke dalam bahasa Arab.^[7]

Aljabar sinkopasi

Diophantus adalah seorang matematikawan Helenistik yang hidup sekitar tahun 250 M, tetapi ketidakpastian tanggal ini begitu besar sehingga mungkin meleset lebih dari satu abad. Dia dikenal karena menulis Arithmetica, sebuah risalah yang awalnya tiga belas buku tetapi hanya enam yang pertama yang bertahan.^[8] Arithmetica memiliki sangat sedikit kesamaan dengan matematika Yunani tradisional karena ia tidak berdasarkan metode geometris, dan juga berbeda dari matematika Babylonia karena Diofantos berfokus pada solusi yang tepat, baik untuk kasus determinate maupun inderteminate, bukan pada perkiraan sederhana.^[2]

Di Arithmetica, Diofantos adalah orang pertama yang menggunakan simbol untuk angka yang tidak diketahui serta singkatan untuk kekuatan angka, hubungan, dan operasi;^[2] jadi dia menggunakan apa yang sekarang dikenal sebagai aljabar sinkopasi. Perbedaan utama antara aljabar sinkopasi Diofantin dan notasi aljabar modern adalah bahwa notasi aljabar modern tidak memiliki simbol khusus untuk operasi, relasi, dan eksponensial.^[9] Jadi, misalnya, apa yang kita tulis

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5}$

Diofantos akan menulisnya sebagai

Κ ^υ ᾱ̄ ζ ί̄ ⫛ Δ ^υ β̄ Μ ᾱ̄ ἴσ Μ ε̄

Berikut adalah simbol-simbol dan objek yang diwakilinya:^[10][11]

Simbol	Perwakilan
ᾱ̄	mewakili 1
β̄	mewakili 2
ε̄	mewakili 5
ί̄	mewakili 10
ζ	mewakili kuantitas yang tidak diketahui
ἴσ	(kependekan dari ἴσος) mewakili "sama dengan"
⫛	mewakili pengurangan dari semua yang mengikutinya hingga ἴσ
Μ	mewakili pangkat nol (yaitu suku konstan)
Δ υ	mewakili kekuatan kedua, dari bahasa Yunani δύναμις , artinya kekuatan atau kekuasaan
Κ υ	mewakili kekuatan ketiga, dari bahasa Yunani κύβος , artinya kubus
Δ υ Δ	mewakili kekuatan keempat
ΔΚ υ	mewakili kekuatan kelima
Κ υ Κ	mewakili kekuatan keenam

Perhatikan bahwa koefisien terletak setelah variabel dan penambahan tersebut diwakili oleh penggabungan suku-suku. Terjemahan simbol-demi-simbol secara literal dari persamaan sinkopasi Diofantos dalam persamaan simbolik modern adalah sebagai berikut:^[10]

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

dan, dengan menggunakan tanda kurung dan tanda plus untuk memperjelas, maka persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai:^[10]

${\displaystyle ({x^{3}}1+{x}10)-({x^{2}}2+{x^{0}}1)={x^{0}}5}$

Arithmetica adalah koleksi sekitar 150 solusi penyelesaian masalah-masalah spesifik. Walau ada kemungkinan bahwa Diofantos mengharapkan keumuman dari metodenya, buku ini tidak menyertakan perkembangan teoritis maupun metode penyelesaian umum yang eksplisit. Diofantos juga tidak berusaha untuk mencari semua solusi dari persamaan-persamaan.^[2] Arithmetica berisi penyelesaian masalah yang melibatkan beberapa variabel, yang didapatkan (jika memungkinkan) dengan menyatakan sebuah variabel sebagai ekspresi dari variabel-variabel lainnya.^[2] Arithmetica juga menggunakan identitas:^[12]

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$	${\displaystyle =(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}}$
	${\displaystyle =(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}}$

Daftar pustaka

• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Edisi 2). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
• Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A Real And Imaginary History of Algebra. Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.
• Cooke, Roger (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3.