Bagian riil dan imajiner

Dalam matematika, jika diketahui bilangan kompleks z = x + iy (yang mana i adalah bilangan imajiner sedang x dan y adalah bilangan riil) maka x disebut bagian riil dan y disebut bagian imajiner dari z.^[1]

Ilustrasi pada bidang kompleks. Bagian riil dari bilangan kompleks z = x + iy adalah x, dan bagian imajinernya adalah y.

Bagian riil dari bilangan kompleks z ditulis Re(z) atau ℜ(z) dan bagian imajiner ditulis Im(z) atau ℑ(z), ℜ dan ℑ adalah huruf kapital R dan I dalam huruf gothic. Penulisan tanpa tanda kurung dapat pula digunakan, Re z atau ℜ z dan Im z atau ℑ z, selama tidak ada ambiguitas dalam pembacaan.

Untuk bilangan kompleks dalam bentuk polar, ${\displaystyle z=(r,\theta )}$, koordinat Kartesiannya adalah ${\displaystyle z=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$, atau ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta ).}$ Hal ini sesuai dengan rumus Euler yang menyatakan ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, jadi bagian riil dari ${\displaystyle re^{i\theta }}$ adalah ${\displaystyle r\cos \theta }$ dan bagian imajinernya adalah ${\displaystyle r\sin \theta }$.

Untuk konjugasi bilangan kompleks ${\displaystyle {\bar {z}}}$, bagian riil dari ${\displaystyle z}$ sama dengan ${\displaystyle z+{\bar {z}} \over 2}$, dan bagian imajinernya sama dengan ${\displaystyle {\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}}$.

Kegunaan

Perhitungan fungsi periodik dalam bilangan riil, seperti misalnya grafik arus bolak-balik atau medan elektromagnetik, sebenarnya merupakan penyederhanaan perhitungan bilangan kompleks dengan hanya memperhatikan bagian riil-nya saja.

Dalam bidang kelistrikan, jika tegangan gelombang sinus diberi beban linear (yaitu beban yang nantinya jika tegangannya sinus maka arus yang mengalir berupa gelombang sinus juga), arus listrik ${\displaystyle I}$ yang mengalir dalam kabel dapat ditulis sebagai bilangan kompleks ${\displaystyle I=x+jy}$ (dalam ilmu kelistrikan sering digunakan j sebagai bilangan imajiner karena lambang i biasa digunakan untuk arus listrik). Dalam notasi bilangan kompleks tersebut x adalah "arus sebenarnya" (arus yang timbul ketika ada tegangan) sedang y adalah "arus imajiner" (arus ketika tidak ada tegangan listrik).

Dalam trigonometri, perhitungan sering menjadi lebih mudah dengan memandang fungsi periodik dalam bidang kompleks.