Bilangan kompleks

Bilangan kompleks dalam matematika, adalah bilangan yang dinotasikan oleh ${\displaystyle a+bi\,}$, di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah suatu bilangan imajiner di mana i ² = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Bilangan kompleks secara visual dapat direpresentasikan sebagai sepasang angka (a, b) membentuk vektor pada diagram yang disebut diagram Argand, mewakili bidang kompleks. "Re"adalah sumbu nyata,"Im"adalah sumbu imajiner, dan i memuaskan i² = −1.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

Garis besar

Notasi dan operasi

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: ${\displaystyle a=a+0i}$.

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i ² = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i ² = (ac−bd) + (bc+ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat di bawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

Definisi

Ilustrasi dari bilangan kompleks z = x + iy dalam medan kompleks. Bagian yang sebenarnya adalah x, dan bagian imajinernya adalah y.

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:

• ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}$
• ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,}$

Dengan definisi di atas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.

Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.

Dalam C, berlaku sebagai berikut:

• identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
• identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
• invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)
• invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b): ${\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right).}$

Notasi

Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

${\displaystyle a+bi}$

Bentuk Polar

Dengan menganggap bahwa:

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

dan

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)}$

maka

${\displaystyle a+bi=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk ${\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )}$ juga sering ditulis sebagai ${\displaystyle r\,cis\theta }$.

Bentuk Eksponen

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

${\displaystyle re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$

Bidang kompleks

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.

Koordinat Kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkulernya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

${\displaystyle z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )=re^{i\phi }.\,}$

Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

${\displaystyle r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}\,}$

dan

${\displaystyle {\frac {r_{1}e^{i\phi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi _{1}-\phi _{2})}.\,}$

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (${\displaystyle \pi /2}$ radian). Secara geometris, persamaan i² = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (${\displaystyle \pi }$ radian).

Konstruksi formal

Konstruksi sebagai tatanan

William Rowan Hamilton memperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunan C dari bilangan kompleks^[1] sebagai himpunan R² pasangan order (a, b) dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).\end{aligned}}}$

Kemudian hanya masalah notasi untuk diungkapkan (a, b) sebagai a + bi.

Konstruksi sebagai medan hasil bagi

Meskipun konstruksi tingkat rendah ini secara akurat mendeskripsikan struktur bilangan kompleks, definisi ekuivalen berikut mengungkapkan sifat aljabar C lebih segera. Karakterisasi ini bergantung pada pengertian bidang dan polinomial. Bidang adalah himpunan yang diberkahi dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang berperilaku seperti yang biasa dari, katakanlah, bilangan rasional. Contohnya, hukum distributif

${\displaystyle (x+y)z=xz+yz}$

harus memegang untuk tiga elemen x, y dan z dari sebuah lapangan. Himpunan R bilangan real memang membentuk bidang. Polinomial p(X) dengan koefisien nyata adalah ekspresi dari bentuk

${\displaystyle a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$

Dimana a₀, ..., a_n adalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunan R[X] dari semua polinomial dengan struktur gelanggang. Gelanggang ini disebut gelanggang polinomial di atas bilangan riil.

Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagai gelanggang hasil bagi R[X]/(X ² + 1).^[3] Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari −1, yaitu (coset dari) X dan −X, masing-masing. (Koset dari) 1 dan X membentuk dasar dari R[X]/(X ² + 1) sebagai ruang vektor nyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagai kombinasi linier di kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan (a, b) dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karena X² + 1 adalah tak tersederhanakan berakhir R, sehingga ideal yang dihasilkan adalah maksimal.

Rumus penjumlahan dan perkalian di ring R[X], modulo the relation X² = −1, sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.

Wakilan matriks dari bilangan kompleks

Bilangan kompleks a + bi bisa juga diwakili oleh 2 × 2 matriks yang memiliki bentuk sebagai berikut:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$

Di sini entri a dan b adalah bilangan riil. Jumlah dan produk dari dua matriks tersebut lagi-lagi dalam bentuk ini, dan jumlah dan hasil kali bilangan kompleks sesuai dengan jumlah dan perkalian dari matriks-matriks tersebut, hasil perkaliannya adalah:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&-d\\d&\;\;c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac-bd&-ad-bc\\bc+ad&\;\;-bd+ac\end{pmatrix}}}$

Deskripsi geometris dari perkalian bilangan kompleks juga dapat diekspresikan dalam matriks rotasi dengan menggunakan korespondensi antara bilangan kompleks dan sejenisnya. Selain itu, kuadrat dari nilai absolut dari bilangan kompleks yang dinyatakan sebagai matriks sama dengan determinan matriks tersebut:

${\displaystyle |z|^{2}={\begin{vmatrix}a&-b\\b&a\end{vmatrix}}=a^{2}+b^{2}.}$

Konjugasi ${\displaystyle {\overline {z}}}$ sesuai dengan transpos dari matriks.

Meskipun representasi bilangan kompleks dengan matriks ini adalah yang paling umum, banyak representasi lain yang muncul dari matriks selain ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ kuadrat itu ke negatif dari matriks identitas. Lihat artikel tentang 2 × 2 matriks riil untuk representasi lain dari bilangan kompleks.

Geometri

Bentuk

Tiga poin non-collinear ${\displaystyle u,v,w}$ di pesawat tentukan 'bentuk' segitiga ${\displaystyle \{u,v,w\}}$. Menemukan titik-titik dalam bidang kompleks, bentuk segitiga ini dapat diekspresikan dengan aritmatika kompleks sebagai

${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$

Bentuk ${\displaystyle S}$ sebuah segitiga akan tetap sama, ketika bidang kompleks diubah oleh translasi atau dilasi (dengan transformasi affin), sesuai dengan pengertian intuitif tentang bentuk, dan mendeskripsikan kesamaan. Demikianlah setiap segitiga ${\displaystyle \{u,v,w\}}$ berada dalam kelas kesamaan segitiga dengan bentuk yang sama.^[4]

Geometri fraktal

Set Mandelbrot dengan sumbu nyata dan imajiner berlabel.

Himpunan Mandelbrot adalah contoh populer dari fraktal yang terbentuk pada bidang kompleks. Ini didefinisikan dengan memplot setiap lokasi ${\displaystyle c}$ tempat melakukan iterasi urutan ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ tidak menyimpang ketika iterasi tanpa batas. Demikian pula, himpunan Julia memiliki aturan yang sama, kecuali di mana ${\displaystyle c}$ tetap konstan.

Segitiga

Setiap segitiga memiliki Steiner inellipse unik sebuah elips di dalam segitiga dan bersinggungan dengan titik tengah ketiga sisi segitiga. fokus dari segitiga inellipse Steiner dapat ditemukan sebagai berikut, menurut teorema Marden:^[5][6] Nyatakan simpul segitiga pada bidang kompleks sebagai a = x_A + y_Ai, b = x_B + y_Bi, and c = x_C + y_Ci. Tulis persamaan kubik ${\displaystyle \scriptstyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$, ambil turunannya, dan samakan turunan (kuadratik) menjadi nol. Teorema Marden mengatakan bahwa solusi dari persamaan ini adalah bilangan kompleks yang menunjukkan lokasi dari dua fokus.

Lihat pula

• Portal matematika

• Bilangan asli
• Bilangan bulat
• Bilangan cacah
• Bilangan imajiner
• Bilangan riil
• Bilangan rasional
• Bilangan irasional
• Bilangan prima
• Bilangan komposit
• Pecahan
• Permukaan aljabar
• Gerakan melingkar menggunakan bilangan kompleks
• Sistem basis kompleks
• Geometri kompleks
• Bilangan kompleks ganda
• Bilangan bulat Eisenstein
• Identitas Euler
• Aljabar geometri (yang menyertakan bidang kompleks sebagai subruang 2-dimensi spinor ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$)
• Akar persatuan
• Bilangan kompleks satuan

Catatan