Barisan dan deret aritmetika

Dalam matematika, barisan dan deret aritmetika atau dikenal sebagai barisan dan deret hitung adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku usebelumnya dengan menambah bilangan tetap.^[1] Misalnya,

${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 7}$, ${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 11}$, ${\displaystyle 13}$, ${\displaystyle \dots }$.

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a+b}$, ${\displaystyle a+2b}$, ${\displaystyle a+3b}$, ${\displaystyle \dots }$.^[2]

Suku barisan aritmetika

Misal ${\displaystyle a_{n}}$ adalah suku barisan ke-${\displaystyle n}$, maka

${\displaystyle \ a_{n}=a+(n-1)b}$.

Bukti
Kita mulai mengurutkannya dari suku ${\displaystyle a_{1}=a}$. Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga ${\displaystyle n}$. ${\displaystyle {\begin{aligned}a_{2}&=a+b\\a_{3}&=a+2b\\&\vdots \end{aligned}}}$ Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh ${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)b\quad \blacksquare }$.[2]

Lebih umumnya, suku barisan ke-${\displaystyle n}$ dapat ditulis

${\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)b}$

di mana ${\displaystyle m<n}$.

Beda

Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal ${\displaystyle b}$ adalah beda antar suku, maka secara matematis dapat ditulis

${\displaystyle b=a_{n}-a_{n-1}}$.^[3]

Suku tengah

Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa ganjil.^[2] Misal ${\displaystyle a_{m}}$ dan ${\displaystyle a_{n}}$ dengan ${\displaystyle m<n}$ mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain pada suatu barisan aritmetika. Karena itu, ${\displaystyle n-m}$ maupun ${\displaystyle n+m}$ adalah bilangan genap. Suku yang terletak antara ${\displaystyle a_{m}}$ dan ${\displaystyle a_{n}}$ adalah

${\displaystyle a_{\frac {m+n}{2}}=a_{m}+\left({\frac {m+n}{2}}-m\right)b}$

dengan

${\displaystyle b={\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}}$.

Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati

${\displaystyle a_{\frac {m+n}{2}}=a_{m}+\left({\frac {n-m}{2}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}\right)={\frac {a_{m}+a_{n}}{2}}}$.^[4]

Deret aritmetika

Deret aritmetika ialah jumlah suku barisan aritmetika, dan dapat kita rumuskan sebagai

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].}$^[2]

Bukti deret suku

Ilustrasi dengan gambar bagaimana rumus deret aritmetika dapat dibuktikan. Misal ${\displaystyle a_{n}}$ adalah barisan suku aritmetika ke-${\displaystyle n}$. ${\displaystyle S_{n}=a+[a+b]+[a+2b]+\cdots +[a+(n-1)b]}$ (1) Dengan menggunakan sifat komutatif, akan memperoleh ${\displaystyle S_{n}=[a+(n-1)b]+[a+(n-2)b]+[a+(n-3)b]+\cdots +a}$ (2) Persamaan (1) ditambah (2) menjadi: ${\displaystyle 2S_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+\cdots +2a+(n-1)b}$ Karena ${\displaystyle 2a+(n-1)b}$ sama banyaknya menjadi jumlah ${\displaystyle n}$, maka ${\displaystyle {\begin{aligned}2S_{n}&=n[2a+(n-1)b]\\S_{n}&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]\quad \blacksquare \end{aligned}}}$ Demikian, kita membuktikannya.[3]

Mirip dengan beda suku aritmetika, selisih antara deret suku memberikan suku ke-${\displaystyle n}$.

${\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}}$.^[5]

Bukti selisih antar deret suku
Kita cukup menjabarkan ${\displaystyle S_{n}}$ dan ${\displaystyle S_{n-1}}$, ${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}\\S_{n-1}&=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}\end{aligned}}}$ lalu kurangi persamaan sehingga di dapati persamaan di atas. ${\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}}$. ${\displaystyle \blacksquare }$[6]

Barisan aritmetika bertingkat

Pada kasus ini, barisan aritmetika bertingkat ini merupakan barisan aritmetika tingkat yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat sebelumnya. Sebagai contohnya, barisan aritmetika tingkat dua dapat didefinisikan barisan aritmetika tingkat kedua yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat pertama.^[7] Untuk tingkatan ${\displaystyle n}$, diperoleh

${\displaystyle u_{n}=a_{n}+{\frac {a_{n-1}(n-1)}{1!}}+{\frac {a_{n-2}(n-1)(n-2)}{2!}}+{\frac {a_{n-3}(n-1)(n-2)(n-3)}{3!}}+\cdots +{\frac {a_{1}(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (2)(1)}{(n-1)!}}}$,^[8]

di mana ${\displaystyle u_{n}}$ adalah tingkat ke-${\displaystyle n}$ pada barisan aritmetika, ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1}}$ adalah suku pertama dari masing-masing barisan pertama, kedua, dan seterusnya. Hasil rumus di atas dapat kita pakai untuk rumusan barisan aritmetika bertingkat dengan uraian berikut.

• Jika berupa barisan linear (yakni ketika ${\displaystyle n=2}$), maka ${\displaystyle u_{2}=a_{2}+a_{1}(n-1)}$;
• Jika berupa barisan berpangkat dua (yakni ketika ${\displaystyle n=3}$), maka ${\displaystyle u_{3}=a_{3}+a_{2}(n-1)+{\frac {a_{1}(n-1)(n-2)}{2}}}$;

Hal tersebut berlanjut hingga seterusnya sehingga mendapat rumus umum di atas.^[8]

Bentuk rekursif

Pada barisan aritmetika tingkat kedua, kita misalkan ${\displaystyle b_{i}}$, ${\displaystyle a_{i}}$ adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama dan kedua, dengan ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. Misalkan juga ${\displaystyle c}$ adalah bilangan tetap dari barisan tingkat kedua. Secara rekursif, suku ${\displaystyle a_{n}}$ dapat dirumuskan sebagai

${\displaystyle a_{n}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}}$.

Bukti barisan aritmetika tingkat kedua

Karena ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ adalah barisan tingkat kedua, maka ${\displaystyle b_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$. Oleh karena itu, kita memperoleh$${\displaystyle {\begin{matrix}a_{2}-a_{1}=b_{1}&\quad (1.1)&\quad b_{2}-b_{1}=k&\quad (2.1)\\a_{3}-a_{2}=b_{2}&\quad (1.2)&\quad b_{3}-b_{2}=k&\quad (2.2)\\a_{4}-a_{3}=b_{3}&\quad (1.3)&\quad b_{4}-b_{3}=k&\quad (2.3)\\a_{5}-a_{4}=b_{4}&\quad (1.4)&\quad b_{5}-b_{4}=k&\quad (2.4)\\a_{6}-a_{5}=b_{5}&\quad (1.5)&\quad b_{6}-b_{5}=k&\quad (2.5)\\a_{7}-a_{6}=b_{6}&\quad (1.6)&\quad b_{7}-b_{6}=k&\quad (2.6)\\\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots \\a_{n}-a_{n-1}=b_{n}&\quad (1.n)&\quad b_{n}-b_{n+1}=k&\quad (2.n)\end{matrix}}}$$Kita akan mengurangi masing-masing persamaan di atas, dimulai dari ${\displaystyle (1.1)}$ dengan ${\displaystyle (1.2)}$, ${\displaystyle (1.2)}$ dengan ${\displaystyle (1.3)}$, dan seterusnya. Dari kumpulan persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh $${\displaystyle {\begin{matrix}a_{3}-2a_{2}+a_{1}&=&b_{2}-b_{1}&=&k&(3.1)\\a_{4}-2a_{3}+a_{2}&=&b_{3}-b_{2}&=&k&(3.2)\\a_{5}-2a_{4}+a_{3}&=&b_{4}-b_{3}&=&k&(3.3)\\a_{6}-2a_{5}+a_{4}&=&b_{5}-b_{4}&=&k&(3.4)\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\vdots \\\end{matrix}}}$$Pada persamaan ${\displaystyle (3.1)}$ dengan ${\displaystyle (3.2)}$, kita memperoleh ${\displaystyle a_{3}-2a_{2}+a_{1}=a_{4}-2a_{3}+a_{2}\iff a_{4}=3a_{3}-3a_{2}+a_{1}}$ Hal yang serupa pada ${\displaystyle (3.2)}$ dengan ${\displaystyle (3.3)}$, ${\displaystyle (3.4)}$ dengan ${\displaystyle (3.5)}$, dst. Dengan mengikuti cara di atas, kita memperoleh $${\displaystyle {\begin{matrix}a_{4}-2a_{3}+a_{2}=a_{5}-2a_{4}+a_{3}&\iff a_{5}=3a_{4}-3a_{3}+a_{2}\\a_{5}-2a_{4}+a_{3}=a_{6}-2a_{5}+a_{4}&\iff a_{6}=3a_{5}-3a_{4}+a_{3}\\a_{6}-2a_{5}+a_{4}=a_{7}-2a_{6}+a_{5}&\iff a_{7}=3a_{6}-3a_{5}+a_{4}\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}$$ Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa ${\displaystyle a_{n}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}}$. ${\displaystyle \blacksquare }$[9]

Kita lakukan lagi pada barisan tingkat tiga. Misalkan ${\displaystyle c_{i}}$, ${\displaystyle b_{i}}$, ${\displaystyle a_{i}}$ adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama, kedua, dan ketiga, dengan ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. Misalkan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan tetap dari barisan tingkat ketiga. Suku ${\displaystyle a_{n}}$ dapat dirumuskan secara rekursif, yakni

${\displaystyle a_{n}=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}}$.

Bukti barisan aritmetika tingkat ketiga

$${\displaystyle {\begin{matrix}a_{2}-a_{1}=b_{1}&\quad (1.1)&\quad b_{2}-b_{1}=c_{1}&\quad (2.1)&c_{2}-c_{1}=k&\quad (3.1)\\a_{3}-a_{2}=b_{2}&\quad (1.2)&\quad b_{3}-b_{2}=c_{2}&\quad (2.2)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{4}-a_{3}=b_{3}&\quad (1.3)&\quad b_{4}-b_{3}=c_{3}&\quad (2.3)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{5}-a_{4}=b_{4}&\quad (1.4)&\quad b_{5}-b_{4}=c_{4}&\quad (2.4)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{6}-a_{5}=b_{5}&\quad (1.5)&\quad b_{6}-b_{5}=c_{5}&\quad (2.5)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{7}-a_{6}=b_{6}&\quad (1.6)&\quad b_{7}-b_{6}=c_{6}&\quad (2.6)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad &\vdots &\quad \vdots \\a_{n}-a_{n-1}=b_{n}&\quad (1.n)&\quad b_{n}-b_{n+1}=c_{n}&\quad (2.n)&c_{n+1}-c_{n}=k&\quad (3.n)\end{matrix}}}$$Dengan cara yang serupa (pada barisan tingkat dua), kita memperoleh $${\displaystyle {\begin{matrix}b_{3}-2b_{2}+b_{1}=c_{2}-c_{1}=k&(4.1)\\b_{4}-2b_{3}+b_{2}=c_{3}-c_{2}=k&(4.2)\\b_{5}-2b_{3}+b_{3}=c_{3}-c_{2}=k&(4.3)\\b_{6}-2b_{5}+b_{4}=c_{4}-c_{3}=k&(4.4)\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}$$sehingga $${\displaystyle {\begin{matrix}b_{4}&=3b_{3}-3b_{2}+b_{1}\\b_{5}&=3b_{4}-3b_{3}+b_{2}\\b_{6}&=3b_{5}-3b_{4}+b_{3}\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}$$dan didapati ${\displaystyle b_{n}=3b_{n-1}-3b_{n-2}+b_{n-3}}$. Karena ${\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}}$, maka didapati ${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}-a_{n-1}&=3(a_{n-1}-a_{n-2})-3(a_{n-2}-a_{n-3})+(a_{n-3}-a_{n-4})\\a_{n}&=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}\quad \blacksquare \end{aligned}}}$ Demikian, kita telah membuktikannya.[10]

Ini akan terus berlanjut untuk barisan tingkat keempat, kelima, dst.

Lihat pula

• Barisan
• Deret (matematika)
• Barisan dan deret geometri