Bilangan segitiga

Bilangan segitiga menghitung benda yang diatur dalam segitiga sama sisi. Angka segitiga ${\displaystyle n}$ adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik ${\displaystyle n}$ di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari bilangan asli ${\displaystyle n}$, yaitu dari ${\displaystyle 1}$ hingga ${\displaystyle n}$. Urutan angka segitiga (barisan A000217 pada OEIS), mulai dari angka segitiga ke-0, adalah

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

Enam bilangan segitiga pertama.

Wacław Sierpiński mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam perkembangan geometris. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia Kazimierz Szymiczek dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.^[1][2]

Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika ${\displaystyle T(a,b,c)}$ dan ${\displaystyle T(a_{1},b_{1},c_{1})}$ berkorelasi secara Smarandache, maka ${\displaystyle Z(a)=Z(a_{1})}$, ${\displaystyle Z(b)=Z(b_{1})}$ dan ${\displaystyle Z(c)=Z(c_{1})}$ dengan ${\displaystyle Z(\dots )}$ sebagai fungsi Smarandache.^[3]

Rumus

Bilangan segitiga dinyatakan dengan rumus berikut: $${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},}$$dengan ${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$ adalah koefisien binomial, yang menyatakan jumlah pasangan berbeda yang dapat dipilih dari n + 1 objek.

Bukti

Rumus bilangan segitiga di atas dapat dibuktikan menggunakan pembuktian induksi.^[4] Dimulai dari ${\displaystyle T_{1}}$ yang menghasilkan ${\displaystyle 1}$. Asumsi untuk suatu bilangan asli ${\displaystyle m}$, maka $${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}.}$$Sekarang, dengan menambahkan ${\displaystyle m+1}$, maka akan menghasilkan$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}}.\end{aligned}}}$$

Dengan demikian, rumus di atas juga benar untuk ${\displaystyle m}$, jika rumus tersebut benar untuk ${\displaystyle m+1}$. Selain itu, karena rumus tersebut selalu benar untuk ${\displaystyle 1}$, maka untuk ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$, dan seterusnya yang merupakan bilangan asli ${\displaystyle n}$ juga benar melalui induksi.