Cevian

Dalam geometri, cevian adalah segmen garis pada segitiga dengan salah satu titik ujung pada titik sudut segitiga dan titik ujung lainnya pada sisi segitiga yang berhadapan.^[1] Garis berat, garis tinggi, dan garis bagi adalah kasus khusus cevian. Kata cevian berasal dari nama seorang insinyur berkebangsaan Italia Giovanni Ceva.^[2]

Panjang

Sebuah segitiga dengan panjang cevian d

Teorema Stewart

Panjang dari cevian bisa dicari dengan teorema Stewart: pada gambar, panjang dari cevian d dapat ditentukan dengan persamaan

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Garis berat

Jika cevian adalah garis berat, panjangnya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan

${\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

atau

${\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

karena

${\displaystyle \,a=2m.}$

Oleh karena itu,

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}.}$

Garis bagi

Jika cevian adalah garis bagi, panjangnya bisa ditentukan dengan

${\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

dan^[3]

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

dan

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$

dengan semiperimeter s = (a+b+c)/2.

Sisi dengan panjang a dibagi dengan perbandingan b:c.

Garis tinggi

Jika cevian adalah garis tinggi sehingga tegak lurus dengan salah satu sisi, panjangnya bisa ditentukan dengan

${\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

dan

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}$

dimana setengah keliling s = (a+b+c) / 2.

Sifat-sifat Perbandingan

Tiga cevian melalui satu buah titik

Terdapat berbagai sifat dari perbandingan panjang yang dibentuk oleh tiga cevian yang melalui satu titik interior yang sama^[4]:177-188 seperti pada gambar,

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1;}$ (teorema Ceva)

${\displaystyle {\frac {AO}{OD}}={\frac {AE}{EC}}+{\frac {AF}{FB}};}$

${\displaystyle {\frac {OD}{AD}}+{\frac {OE}{BE}}+{\frac {OF}{CF}}=1;}$

${\displaystyle {\frac {AO}{AD}}+{\frac {BO}{BE}}+{\frac {CO}{CF}}=2.}$

Dua sifat yang terakhir ekuivalen karena penjumlahan kedua persamaan memberikan 1 + 1 + 1 = 3.

Lihat juga

• Teorema Menelaus