Diagram Euler

Diagram Euler (/ˈɔɪlər/,) adalah diagram cara metik untuk mewakili himpunan dan hubungannya. Mereka sangat berguna untuk menjelaskan hierarki yang kompleks dan definisi yang tumpang tindih. Mereka mirip dengan teknik diagram himpunan lainnya, diagram Venn. Tidak seperti diagram Venn, yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan antara set yang berbeda, diagram Euler hanya menampilkan relasi yang relevan.

Artikel ini berisi tentang Lingkaran Euler dari teori dan logika himpunan. Untuk lingkaran geometri Euler, lihat Lingkaran sembilan titik.

Diagram Euler yang menggambarkan bahwa himpunan "hewan berkaki empat" adalah himpunan bagian dari "hewan", tetapi himpunan "mineral" adalah terputus-putus (tidak memiliki anggota yang sama) dengan "hewan"

Diagram Euler yang menunjukkan hubungan antara objek Tata Surya yang berbeda

Penggunaan pertama "lingkaran Eulerian" biasanya dikaitkan dengan ahli matematika Swiss Leonhard Euler (1707–1783). Di Amerika Serikat, diagram Venn dan Euler digabungkan sebagai bagian dari instruksi di teori himpunan sebagai bagian dari gerakan matematika baru tahun 1960-an. Sejak saat itu, mereka juga diadopsi oleh bidang kurikulum lain seperti membaca^[1] serta organisasi dan bisnis.

Diagram Euler terdiri dari bentuk tertutup sederhana dalam bidang dua dimensi yang masing-masing menggambarkan himpunan atau kategori. Bagaimana atau jika bentuk-bentuk ini tumpang tindih mendemonstrasikan hubungan antar set. Setiap kurva membagi bidang menjadi dua wilayah atau "zona": interior, yang secara simbolis mewakili elemen dari himpunan, dan eksterior, yang mewakili semua elemen yang bukan anggota himpunan. Kurva yang tidak tumpang tindih mewakili set terputus-putus, yang tidak memiliki elemen yang sama. Dua kurva yang tumpang tindih mewakili himpunan yang berpotongan, yang memiliki elemen yang sama; zona di dalam kedua kurva mewakili himpunan elemen yang sama untuk kedua himpunan (perpotongan dari himpunan). Sebuah kurva yang seluruhnya berada di dalam interior lainnya adalah subhimpunan darinya.

Diagram Venn adalah bentuk diagram Euler yang lebih terbatas. Diagram Venn harus berisi semua 2ⁿ secara logis kemungkinan zona tumpang tindih antara kurva n , mewakili semua kombinasi penyertaan/pengecualian himpunan konstituennya. Region bukan bagian dari himpunan ditunjukkan dengan mewarnai mereka dengan warna hitam, berbeda dengan diagram Euler, di mana keanggotaan dalam himpunan ditunjukkan dengan tumpang tindih serta warna.

Sejarah

Sebuah halaman dari Lectures on Logic Hamilton. Simbolisme A, E, I, dan O mengacu pada pernyataan kategoris yang dapat terjadi dalam silogisme. Teks kecil di sebelah kiri secara keliru menyatakan: "Penggunaan pertama diagram lingkaran dalam logika yang secara tidak tepat dianggap berasal dari Euler. Dapat ditemukan di Christian Weise ", sebuah buku yang sebenarnya ditulis oleh Johann Christian Lange.^[2][3]

Di sebelah kanan adalah halaman 74 dari Couturat 1914 di mana dia memberi label 8 wilayah dari diagram Venn. Nama modern untuk "wilayah" ini adalah minterm. Ini ditunjukkan di sebelah kiri dengan variabel x, y, dan z per gambar Venn. Simbolismenya adalah sebagai berikut: logika AND (&) diwakili oleh perkalian aritmatika, dan logika NOT (~) diwakili oleh "'" setelah variabel, mis. daerah x'y'z dibaca sebagai "BUKAN x DAN BUKAN y DAN z" yaitu ~ x & ~

Diagram Veitch dan peta Karnaugh menunjukkan semua minterms, tetapi Veitch tidak terlalu berguna untuk reduksi rumus. Amati kemiripan yang kuat antara diagram Venn dan Karnaugh; warna dan variabel x, y, dan z sesuai dengan contoh Venn.

Seperti yang ditunjukkan pada ilustrasi di sebelah kanan, Sir William Hamilton dalam bukunya yang diterbitkan secara anumerta Lectures on Metaphysics and Logic (1858–60) secara keliru menegaskan ... abstraksi Logika "(hlm. 180) bukanlah Leonhard Paul Euler (1707–1783) melainkan Christian Weise (1642–1708) dalam bukunya Nucleus Logicae Weisianae yang muncul pada 1712 secara anumerta, bagaimanapun, buku terakhir sebenarnya ditulis oleh Johann Christian Lange daripada Weise.^[2][3] He references Euler's Letters to a German Princess [Partie II, Lettre XXXV, February 17, 1791, ed. Cournot (1842), pp. 412-417. – ED.]^{[nb 1]}

Dalam ilustrasi Hamilton, empat proposisi kategorikal yang dapat terjadi dalam silogisme seperti yang disimbolkan oleh gambar A, E, I dan O adalah:^[4]

• J: The Universal Affirmative , Contoh: "Semua logam adalah unsur".
• E: The Universal Negative , Contoh: "Tidak ada logam yang merupakan zat majemuk".
• I: The Particular Affirmative , Contoh: "Beberapa logam rapuh".
• O: The Particular Negative , Contoh: "Beberapa logam tidak rapuh".

Dalam karyanya tahun 1881 Symbolic Logic Bab V "Diagrammatic Representation", John Venn (1834–1923) mengomentari prevalensi yang luar biasa dari diagram Euler:

"...dari enam puluh risalah logis pertama, yang diterbitkan selama sekitar abad terakhir, yang dikonsultasikan untuk tujuan ini: -beberapa secara acak, karena kebetulan mereka paling mudah diakses: -tampaknya tiga puluh empat meminta bantuan diagram, hampir semua ini memanfaatkan Skema Eulerian. "(Catatan kaki 1 halaman 100)

Gabungan dari dua halaman 115–116 dari Venn 1881 menunjukkan contoh bagaimana mengubah silogisme tiga bagian menjadi tipe diagramnya. Venn menyebut lingkaran tersebut "lingkaran Eulerian" (cf Sandifer 2003, Venn 1881: 114 dll) dalam "skema Eulerian" (Venn 1881: 100) dari "diagram Euler kuno" (Venn 1881: 113).

Namun demikian, ia berpendapat, "ketidakmampuan skema ini untuk tujuan Logika yang sangat umum" (halaman 100), "Ini cocok tetapi buruk bahkan dengan empat proposisi dari Logika umum yang biasanya diterapkan." Venn mengakhiri babnya dengan observasi yang diilustrasikan dalam contoh di bawah — bahwa penggunaannya didasarkan pada praktik dan intuisi, bukan pada praktik algoritme yang ketat:

“Nyatanya ... diagram-diagram tersebut tidak hanya tidak cocok dengan skema proposisi biasa yang digunakan untuk menggambarkannya, tetapi tampaknya tidak memiliki skema proposisi yang diakui sehingga mereka dapat secara konsisten berafiliasi. " (hlm. 124–125)

Hubungan antara diagram Euler dan Venn

- Proses pengembangan -

Galeri

• 
  Diagram Venn menunjukkan semua kemungkinan persimpangan.
• 
  Diagram Euler memvisualisasikan situasi nyata, hubungan antara berbagai organisasi supranasional Eropa. (versi yang dapat diklik)
• 
  Diagram lucu membandingkan Euler dan diagram Venn.
• 
  Diagram euler dari jenis segitiga, menggunakan definisi bahwa segitiga sama kaki memiliki setidaknya (bukan persis) 2 sisi yang sama.
• 
  Diagram Euler dari terminologi Kepulauan Inggris.
• 
  22 (dari 256) diagram Venn yang pada dasarnya berbeda dengan 3 lingkaran (atas) dan diagram Euler yang sesuai (bawah)
  Beberapa diagram Euler tidak tipikal, dan beberapa bahkan setara dengan diagram Venn. Area diarsir untuk menunjukkan bahwa mereka tidak mengandung elemen.

Sebuah diagram Euler yang menampilkan hubungan antara berbagai organisasi dan perjanjian Eropa multi-nasional.

• l
• b
• s

Lihat pula

• Diagram Spider - perpanjangan dari diagram Euler yang menambahkan keberadaan ke persimpangan kontur.

Catatan

1. Pada saat kuliah Hamilton ini diterbitkan, Hamilton juga telah meninggal. Editornya (disimbolkan dengan ED.), bertanggung jawab untuk sebagian besar catatan kaki, adalah para ahli logika Henry Longueville Mansel dan John Veitch.