Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil ={\text{ceil}}(x)}$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real ${\displaystyle x}$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan ${\displaystyle x}$.^[1] Sebagai contoh, nilai dari ${\displaystyle \lceil 0,\!8\rceil =1}$. Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil^[2].

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terbesar

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil

Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat.

Sebaliknya, suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ={\text{floor}}(x)}$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real ${\displaystyle x}$ ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan ${\displaystyle x}$.^[1] Sebagai contoh, nilai dari ${\displaystyle \lfloor 3,\!14\rfloor =3}$. Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar.^[2]

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}}$ dan ${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}}$.[1]

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (bahasa Inggris: integer part), di mana bilangan riil yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan ${\displaystyle [x]}$ atau terkadang dinotasikan sebagai ${\displaystyle \operatorname {int} (x)}$^[3] dan dirumuskan sebagai^[3][4]

${\displaystyle [x]={\begin{cases}\lfloor x\rfloor ,&{\text{jika }}x\geq 0\\\lceil x\rceil ,&{\text{jika }}x<0\end{cases}}}$.

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau ${\displaystyle \pi }$ yang bernilai ${\displaystyle 3.1415926\dots }$, maka ${\displaystyle [\pi ]=3}$. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}}\right]=0}$.

Sejarah

Fungsi atap dan lantai dikenal masuk dalam bagian bilangan bulat.^[5] Namun, bagian bilangan bulat juga digunakan untuk pemotongan bilangan bulat mendekati 0 pada bilangan bulat negatif, yang berbeda dengan fungsi lantai di bilangan negatif.

Bagian bilangan bulat didefinisikan oleh Adrien-Marie Legendre pada tahun 1798. Selanjutnya, Carl Friedrich Gauss memperkenalkan penggunaan notasi tanda kurung kotak^[5] untuk menuliskan fungsi bilangan bulat terbesar. Namun, tidak ada notasi standar untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil.^[6] Beberapa penulis bahkan menggunakan notasi ${\displaystyle ]x[}$ untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil, yang tidak menjadi standar.^[6]

Pada tahun 1962, Kenneth Eugene Iverson memperkenalkan fungsi atap dan lantai dalam bukunya, A Programming Language.^[7] Penggunaan notasi ini dipopulerkan oleh Donald Ervin Knuth^[8] yang sekarang menjadi standar penggunaan dalam berbagai artikel teknis tanpa perlu penjelasan fungsi tersebut.^[6]

Sifat dan identitas

Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:^[9]

• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil }$ untuk suatu ${\displaystyle x}$ bilangan real.
• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x}$ dan ${\displaystyle \lceil x\rceil =x}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x}$ adalah bilangan bulat.
• ${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =1}$ jika ${\displaystyle x}$ adalah bilangan real dan ${\displaystyle 0}$ bila ${\displaystyle x}$ bilangan bulat.
• Untuk suatu ${\displaystyle n}$ bilangan bulat, ${\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n}$.

Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

• ${\displaystyle [-x]=-[x]}$

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:^[10][11][12]

• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil =[x]}$ untuk ${\displaystyle x}$ adalah bilangan bulat.

Kalkulus

Turunan

Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila ${\displaystyle x}$ adalah bilangan bulat. Bila ${\displaystyle x}$ bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana,^[13] yakni bernilai 0.

Integral

Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

• ${\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\mathrm {d} x=x\lfloor x\rfloor }$.^[14]

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

• ${\displaystyle \int \lceil x\rceil \,\mathrm {d} x=x\lceil x\rceil }$.^[15]

Representasi deret

Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$ asalkan ${\displaystyle x}$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.^[16]

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

${\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$ asalkan ${\displaystyle x}$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.^[17]