Fungsi monoton

Dalam matematika, fungsi monotonik atau fungsi monoton adalah sebuah fungsi antar himpunan terurut yang mengawetkan atau membalikan suatu urutan.^[1][2][3] Konsep ini pertama kali muncul dalam kalkulus, dan selanjutnya diperumum untuk masalah-masalah di teori urutan.

Gambar 2. Contoh grafik fungsi monotonik tak-menaik.

Gambar 3. Contoh grafik fungsi monotonik tak-menurun.

Gambar 1. Contoh grafik fungsi yang tidak monotonik

Dalam kalkulus dan analisis

Dalam kalkulus, sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ bernilai real yang terdefinisi pada suatu subset dari himpunan bilangan real, dikatakan monotonik jika fungsi tersebut seluruhnya tak-menaik atau seluruhnya tak-menurun.^[2] Sebagai contoh, Gambar 2. menunjukkan grafik fungsi yang turun secara monotonik tidak perlu selalu menurun, cukup tidak pernah meningkat.

Sebuah fungsi dikatakan monoton naik (juga dikatakan naik secara monotonik, menaik, atau tak-menurun),^[3] jika untuk setiap ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$, dengan ${\displaystyle x\leq y}$, akan berlaku ${\displaystyle f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)}$. Fungsi ${\displaystyle f}$ yang memenuhi hubungan tersebut dikatakan mengawetkan urutan. Serupa dengan itu, sebuah fungsi dikatakan monoton turun (juga dikatakan turun secara monotonik, menurun, atau tak-menaik)^[3] jika ${\displaystyle x\leq y}$, maka berlaku ${\displaystyle f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)}$. Fungsi monoton membalikkan urutan.

Urutan ${\displaystyle \leq }$ dalam definisi kemonotonikan dapat diganti dengan urutan tegas (strict order) ${\displaystyle <}$ untuk menghasilkan definisi yang lebih kuat. Fungsi yang memenuhi definisi ini disebut fungsi menaik tegas (terkadang cukup disebut menaik).^[3][4] Serupa dengan itu, dengan membalik simbol pertidaksamaan, didapatkan konsep yang disebut menurun tegas (terkadang cukup disebut menurun).^[3][4]