Kesamaan

Dalam matematika, kesamaan adalah hubungan antara dua kuantitas, atau ekspresi matematika secara umum, yang menyatakan bahwa kedua kuantitas tersebut punya nilai yang sama, atau kedua ekspresi tersebut melambangkan objek matematika yang sama. Kesamaan antara A dan B ditulis dengan A = B, dan dibaca A sama dengan B. Simbol "=" disebut "tanda sama dengan".

Tanda sama dengan yang digunakan sebagai simbol untuk mengekspresikan persamaan

Simbol

Penggunaan simbol sama dengan pertama kali dalam persamaan ${\displaystyle 14x+15=71}$ menggunakan notasi modern. Ini ditemukan di The Whetstone of Witte (1557), karya Robert Recorde.

Pendahuluan Recorde mengenai =. "Dan untuk menghindari pengulangan kata-kata yang sama itu: 'sama dengan', saya tetapkan seperti yang saya sering lakukan dalam penggunaannya, yakni sepasang garis sejajar, atau garis kembar yang panjangya [sama], menjadi: ==, karena tidak ada 2 hal yang dapat lebih sama."^[1]

Simbol = kini sudah diterima secara universal dalam pengertian kesamaan dalam matematika. Simbol ini pertama kali dicatat oleh matematikawan Welsh Robert Recorde dalam The Whetstone of Witte (1557). Awal rupa simbol tersebut ditulis lebih panjang daripada bentuk yang saat ini. Dalam bukunya, Recorde menjelaskan simbolnya sbagai explains his symbol as "garis-garis Gemowe", namanya berasal dari bahasa Latin gemellus ('kembar'), Digambarkan bahwa simbol itu menggunakan dua garis yang sejajar untuk menyatakan kesamaan, karena Recorde meyakini bahwa "tidak ada dua hal yang dapat lebih sama."^[2][3]

Simbol Recorde awalnya tidak begitu terkenal. Setelah pendahuluan, simbol tersebut tidak digunakan lagi dalam cetakan hingga pada tahun 1618 (61 tahun kemudian), dalam Apendiks tanpa nama dalam terjemahan bahasa Inggris Edward Wright dalam Descriptio, karya John Napier. Hingga pada tahun 1631, simbol tersebut sudah diterima banyak kalangan matematikawan di Inggris, dan menggunakan simbol tersebut menyatakan kesamaan dalam beberapa karya yang berdampak. Seterusnya, simbol tersebut digunakan beberapa matematikawan terkenal, seperti Isaac Newton dan Gottfried Leibniz. Karena kelazinan kalkulus pada kala itu juga yang disematkan oleh kedua matematikawan tersebut, simbol tersebut dengan cepat menyebar di seluruh Eropa.^[3]

Sifat dasar

Refleksivitas

Untuk setiap a, maka berlaku a = a.^[4][5]

Simetris

Untuk setiap a dan b, jika a = b, maka b = a.^[4][5]

Transitivitas

Untuk setiap a, b, dan c, jika a = b dan b = c, maka a = c.^[4][5]

Substitusi

Secara informal, ini hanya berarti bahwa jika a = b, maka a dapat menggantikan b dalam bentuk ekspresi atau rumus apa saja tanpa mengubah maknanya.^[4][6][7] (Untuk penjelasan formalnya, lihat § Aksioma). Sebagai contoh:

• Diketahui bilangan real a dan b, jika a = b, maka ${\displaystyle a>0}$ menyiratkan ${\displaystyle b>0.}$

Penerapan operasi

Untuk setiap a dan b, dengan operasi ${\displaystyle f(x)}$, jika a = b, maka ${\displaystyle f(a)=f(b)}$.^[8][7][a] Sebagai contoh:

• Diketahui bilangan bulat a dan b, jika a = b, maka ${\displaystyle 3a+1=3b+1}$. (Disini, ${\displaystyle f(x)=3x+1}$, yang merupakan operasi unary.)
• Diketahui bilangan asli a, b, c, dan d, jika ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ dan ${\displaystyle c=d\neq 0}$, maka ${\displaystyle a^{2}/c=2b^{2}/d}$. (Disini, ${\displaystyle f(x,y)=x/y}$ adalah operasi biner.)
• Diketahui fungsi real ${\displaystyle g}$ dan ${\displaystyle h}$ atas variabel a, jika ${\displaystyle g(a)=h(a)}$ untuk semua a, maka ${\textstyle {\frac {d}{da}}g(a)={\frac {d}{da}}h(a)}$ untuk semua a. (Disini, ${\textstyle f(x)={\frac {dx}{da}}}$. Suatu operasi atas fungsi (dalam artian operator), dinamakan turunan).^[b]

Tiga sifat pertama pada umumnya disematkan dengan Giuseppe Peano, yang telah menyajikan pernyataan tersebut secara terang-terangan sebagai sifat-sifat kesamaan yang mendasar dalam Arithmetices principia (1889).^[9][10] Namun gagasan dasarnya selalu ada, seperti Euclid's Elements (ca 300 BC) yang menyertaka 'gagasan umum': "Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama dengan hal yang lainnya" (transitif), "Hal yang bersamaan dengan satu sama lain sama dengan hal yang lain" (refleksif), di sepanjang beberapa sifat penerapan operasi untuk penambahan dan pengurangan.^[11] Sifat penerapan operasi juga dinyatakan dalam Arithmetices principia^[9] Terlepas dari itu, sudah menjadi kelaziman dalam aljabar setidaknya semenjak pada masa Diophantus (ca 250 AD).^[12] Sifat substitusi pada umumnya disematkan dengan Gottfried Leibniz (ca 1686), dan acapkali dinamai Hukum Leibniz.^[6][13]

Persamaan

Timbangan digunakan untuk membantu murid-murid memvisualisasikan aljabar bagaimana persamaan dapat diubah yang menentukan nila-nilai yang tidak diketahui.

Persamaan adalah kesamaan simbolik dari kedua ekspresi matematika yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=).^[14] Aljabar adalah cabang matematika yang melibatkan penyelesaian persamaan. Penyelesaian tersebut mencakup masalah mencari nilai suatu variabel yang tidak diketahui, supaya kesamaan yang dimaksud itu benar. Masing-masing nilai yang tidak diketahui supaya persamaan itu berlaku dinamakan solusi atau penyelesaian, dan juga dikatakan memenuhi persamaan. Sebagai contoh, persamaan ${\displaystyle x^{2}-6x+5=0}$ memiliki nilai ${\displaystyle x=1}$ dan ${\displaystyle x=5}$ sebagai solusi persamaan itu. Istilah tersebut digunakan dengan serupa untuk persamaan yang tidak diketahui variabel-variabelnya.^[15] Himpunan solusi persamaan atau sistem persamaan dinamakan himpunan solusi.^[16]

Dalam pendidikan matematika, murid-murid diajarkan untuk mengandalkan model-model konkret dan visualisasi persammaan, seperti analogi geometri, manipulasi batang ataupun gelas, dan "mesin fungsi" yang merepresentasikan persamaan seperti diagram aliran. Adapun metode yang menggunakan timbangan sebagai pendekatan ilustrasi untuk membantu murid-murid menangkap permasalahan dasar dalam aljabar. Massa benda tidak diketahui, sehingga dilambangkan sebagai variabel. Menyelesaikan persamaan sama saja seperti menambahkan atau membuang benda pada kedua sisi timbangan sehingga tetap seimbang. Hal tersebut terus berlanjut hingga menyisakan benda di sebelah sisi timbangan yang merupakan benda yang tidak diketahui massanya.^[17]

Persamaan sering kali dianggap seperti pernyataan, atau relasi, yang dapat berarti benar atau salah. Sebagai contoh, ${\displaystyle 1+1=2}$ adalah benar, sedangkan ${\displaystyle 1+1=3}$ salah. Persamaan yang tidak diketahui variabelnya dianggap benar dengan syarat, sebagai contoh ${\displaystyle x^{2}-6x+5=0}$ benar ketika ${\displaystyle x=1}$ atau ${\displaystyle x=5}$, sedangkan nilai lainnya salah.^[18] Adapun berbagai istilah yang berbeda mengenai hal tersebut. Dalam logika matematika, persamaan adalah predikat biner (dalam artian pernyataan logis yang dapat memiliki variabel bebas) yang memenuhi sifat-sifat tertentu.^[19] Dalam ilmu komputer, persamaan didefinisikan sebagai ekspresi bernilai boolean, atau operator relasi, yang menghasilkan kembali 1 untuk benar dan 0 untuk salah.^[20]

Identitas

Identitas adalah kesamaan yang benar untuk semua nilai dari variabel di domain yang diketahui.^[21][22] Suatu "persamaan" terkadang dapat berarti identitas, tetapi sering kali suatu persamaan menyajikan subhipunan ruang variabel menjadi subhimpunan yang persamaan tersebut itu benar. Sebagai contohnya adalah ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1}$ yang berlaku benar untuk tiap bilangan real ${\displaystyle x}$. Tidak ada notasi standar yang membedakan persamaan dari identitas, atau penggunaan relasi kesamaan lainnya: seseorang harus menduga pandangan yang sesuai dari semantik ekspresi dan konteks.^[23] Kadangkala tapi tidak selalu, identitas ditulis dengan tiga garis yang sejajar: ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$^[24] Notasi tersebut diperkenalkan oleh Bernhard Riemann dalam pengajarannya pada tahun 1857 di Elliptische Funktionen lectures (yang diterbitkan pada tahun 1899).^[25][26][27]

Identitas dapat dipandang lain sebagai kesamaan fungsi. Alih-alih menulis ${\displaystyle f(a)=g(a){\text{ untuk semua }}a}$, seseorang dapat menulis dengan sederhana sebagai ${\displaystyle f=g.}$^[28][29] Ini dinamakan ekstensionalitas fungsi.^[30][31] Dalam hal ini, sifat penerapan-operasi mengacu pada operator, operasi pada ruang fungsi (fungsi yang memetakan di antara fungsi) seperti komposisi^[32] atau turunan yang umumnya digunakan dalam kalkulus operasional.^[33] Suatu identitas dapat memiliki fungsi yang "tidak diketahui", dan identitas tersebut dapat dieselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan biasanya. Persamaan itu dinamakan persamaan fungsional.^[34] Suatu persamaan fungsional melibatkan turunan yang dinamakan persamaan diferensial.^[35]

Definisi

Persamaan kerapkali digunakan untuk memperkenalkan istilah atau simbol baru untuk konstanta, menegaskan kesamaan, dan memperkenalkan singkatan untuk ekspresi yang rumit dilihat, yang dinamakan "equal by definition" atau "sama berdasarkan definisi", dan sering kali dilambangkan dengan (${\displaystyle$ :=} ).^[36] Ini mirip seperti konsep assignment suatu variabel dalam ilmu komputer. Sebagai contoh, ${\textstyle \mathbb {e}$ :=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} mendefinisikan Euler's number,^[37] dan ${\displaystyle i^{2}=-1}$ mendefinisikan sifat-sifat bilangan imajiner ${\displaystyle i.}$^[38]

Dalam logika matematika, ini dinamakan ekstensi berdasarkan definisi (menurut kesamaan) yang merupakan ekstensi konservatif dengan sistem formal.^[39] Ini dilakukan dengan mengambil persamaan yang mendefinisikan simbol konstana baru sebagia aksioma suatu teorema yang baru. Simbol yang mengartikan "sama berdasarkan definisi" tercatat pertama kali pada Logica Matematica (1894), karya matematikawan Italia Cesare Burali-Forti, yang menggunakan notasi (${\displaystyle =_{\text{Def}}}$).^[40][41]

Lihat pula

• Kesamaan logis
• Identitas (matematika)
• Persamaan
• Pertidaksamaan

Catatan

1. ${\displaystyle f}$ dapat berupa sebarang arity, tapi ditulis unary untuk menghindari notasi yang rumit.
2. Asumsi bahwa ${\displaystyle g}$ dan ${\displaystyle h}$ fungsi terdiferensialkan.