Matriks blok

Dalam matematika, matriks blok atau matriks terpartisi adalah matriks yang diinterpretasikan telah dipecah menjadi beberapa bagian yang disebut blok atau submatriks.^[1] Secara intuitif, matriks yang diinterpretasikan sebagai matriks blok dapat divisualisasikan sebagai matriks asli dengan kumpulan garis horizontal dan vertikal, yang memecahnya, atau mempartisinya, menjadi kumpulan matriks yang lebih kecil.^[2] Matriks apa pun dapat diinterpretasikan sebagai matriks blok dalam satu atau lebih cara, dengan setiap interpretasi ditentukan oleh bagaimana baris dan kolomnya dipartisi.

Gagasan ini dapat dibuat lebih tepat untuk ${\displaystyle n}$ oleh ${\displaystyle m}$ matriks ${\displaystyle M}$ dengan mempartisi ${\displaystyle n}$ menjadi koleksi ${\displaystyle {\text{rowgroups}}}$, dan kemudian mempartisi ${\displaystyle m}$ menjadi koleksi ${\displaystyle {\text{colgroups}}}$ . Matriks asli kemudian dianggap sebagai "total" dari kelompok-kelompok ini, dalam arti bahwa ${\displaystyle (i,j)}$ entri matriks asli sesuai dengan cara 1-ke-1 dengan beberapa ${\displaystyle (s,t)}$ mengimbangi masuknya beberapa ${\displaystyle (x,y)}$, di mana ${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$ dan ${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$.

Aljabar matriks blok muncul secara umum dari produk ganda dalam kategori matriks.^[3]

Contoh

Sebuah matriks blok elemen 168×168 dengan sub-matriks 12×12, 12×24, 24×12, dan 24×24. Elemen bukan nol berwarna biru, elemen nol berwarna abu-abu.

Matriks

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$$

dipartisi menjadi empat blok 2 × 2

$${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$$