Modus tollens

Dalam kalkulus proposisional, modus tollens (//; MT; disebut juga modus tollendo tollens (Latin untuk "modus yang menyangkal dengan menyangkal")^[1] atau menyangkal konsekuen)^[2] adalah bentuk argumen valid dan aturan penarikan kesimpulan. Ini adalah sebuah penerapan dari kebenaran umum bahwa jika sebuah pernyataan adalah benar, maka kontra positif-nya juga benar. Jenis argumen ini sangat mirip dengan argumen jenis modus ponens. Namun, di sisi lain memiliki beberapa perbedaan dalam bentuk argumennya.^[3]

Prinsip

Prinsip penggunaan pernyataan pada modus tollens mengikuti syarat kondisi dan ingkaran konsekuennya dianggap benar, ingkaran antesedennya yang dapat disimpulkan secara sah.^[4] Sehingga dapat dikemukakan bahwa jika p terjadi maka q terjadi q tidak terjadi, maka dapat tarik kesimpulan bahwa p tidak terjadi.^[5] Aturan kesimpulan modus tollens memvalidasi kesimpulan dari P berarti Q dan kontradiktif dari Q untuk kontradiktif dari P. Aturan modus tollens dapat dinyatakan secara resmi. Umumnya, modus tollens dapat disimbolkan sebagai berikut.

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}$

dimana ${\displaystyle P\to Q}$ pernyataan "P maka Q".${\displaystyle \neg Q}$berarti "bukan kasus yang Q" (atau di singkat "bukan Q"). Kemudian, setiap kali "${\displaystyle P\to Q}$"dan "${\displaystyle \neg Q}$" masing-masing muncul dalam pembuktian, kemudian "${\displaystyle \neg P}$" secara sah dapat ditempatkan pada kesimpulan. Sejarah aturan inferensi modus tollens kembali ke zaman dahulu.^[6]${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Yang pertama secara eksplisit menggambarkan bentuk argumen modus tollens adalah Theophrastus.^[7]

Contoh dalam bentuk pernyataan.^[8]

(1) Jika Doni kerja keras maka Doni akan dapat gaji tinggi.

(2) Doni tidak akan dapat gaji tinggi.

Konklusi: Jadi, Doni tidak kerja keras.

Dalam bidang matematika, kontradiksi dari pembuktian argumen merupakan kaidah penting untuk membenarkan atau membuktikan suatu argumen.^[9]

Notasi Formal

Aturan modus tollens dapat ditulis dalam notasi:

dimana ${\displaystyle \vdash }$ adalah simbol metalogical yang berarti bahwa ${\displaystyle \neg P}$ adalah konsekuensi logis dari <${\displaystyle P\to Q}$ dan ${\displaystyle \neg Q}$ dalam sebuah sistem.

atau sebagai pernyataan fungsional tautologi atau teorema dari logika proposisional:

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

dimana ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$ ini adalah proposisi yang diungkapkan dalam sebuah sistem;

Penulisan ulang modus tollens sering terlihat, misalnya dalam teori himpunan:

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

("P adalah subset dari Q. x tidak dalam Q. Jadi, x tidak di P.")

Juga pada logika predikat tingkat pertama:

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\displaystyle \exists x:~\neg Q(x)}$

${\displaystyle \therefore \exists x:~\neg P(x)}$

("Untuk semua x, jika x adalah P, maka x adalah Q. Ada beberapa x yang tidak Q. Jadi, ada beberapa x yang tidak P.")

Sebenarnya ini bukan kasus modus tollens, tetapi mereka mungkin turunan modus tollens menggunakan beberapa langkah tambahan.

Penjelasan

Persyaratan:

1. Argumen ini memiliki dua tpremmis.
2. Premis pertama adalah bersyarat atau pernyataan "jika-maka", misalnya bahwa jika P maka Q.
3. Premis kedua adalah "bukan kasus Q."
4. Dari dua premis, dapat secara logis menyimpulkan bahwa "bahwa bukan kasus P.

Perhatikan contoh:

Jika anjing mendeteksi penyusup, anjing akan menggonggong
Anjing tidak menggonggong

Jadi, tidak ada penyusup terdeteksi oleh anjing

Andaikan bahwa kedua premis benar (anjing akan menggonggong jika mendeteksi penyusup, dan memang tidak menggonggong), maka delanjutkan bahwa tidak ada penyusup yang terdeteksi. Ini adalah argumen yang valid karena tidak mungkin untuk kesimpulan untuk menjadi salah jika premis benar. (Bisa dibayangkan bahwa mungkin ada penyusup yang tidak terdeteksi anjing, tapi itu tidak membatalkan argumen; premis pertama adalah "jika anjing mendeteksi penyusup." Hal yang penting adalah bahwa anjing dapat mendeteksi atau tidak mendeteksi penyusup, bukan apakah ada atau tidak.)

Contoh lain:

Jika saya pembunuh, maka saya dapat menggunakan kapak.

Saya tidak bisa menggunakan kapak.

Oleh karena itu, saya tidak pembunuh.

Contoh lain:

Jika Rex adalah ayam, maka ia adalah seekor burung.

Rex adalah bukan burung.

Oleh karena itu, Rex bukan ayam.

Kaitan dengan modus ponens

Setiap penggunaan modus tollens dapat dikonversi ke penggunaan modus ponens dan satu penggunaan transposisi untuk premis yang merupakan implikasi material. Misalnya:

Jika P, maka Q. (premis – implikasi material)

Jika tidak Q, maka tidak P. (transposisi)

Bukan Q . (premis)

Oleh karena itu, tidak P. (modus ponens)

Demikian juga, setiap penggunaan modus ponens dapat dikonversi ke penggunaan modus tollens dan transposisi.

Pembenaran melalui tabel kebenaran

Validitas modus tollens dapat ditunjukkan secara jelas melalui tabel kebenaran.^[10]

p	q	~p	~q	p → q	(p → q) ∧ ~q	((p → q) ∧ ~q) → ~p
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	S	B

Berdasarkan tabel kebenaran di tersebut dimana yang dinyatakan bahwa [(p → q) ∧ ~q] → ~p merupakan tautologi. Sehingga modus tollens dapat dinyatakan sebagai sebuah argumentasi yang valid.^[11]

Contoh dalam suatu pernyataan:^[10]

(1) Jika harga beras naik maka permintaan turun.

(2) Permintaan tidak turun.

Kesimpulan: Harga beras tidak naik.

Dalam kasus modus tollens kita asumsikan sebagai premis bahwa p → q benar dan q salah. Hanya ada satu baris dari tabel kebenaran—baris keempat—yang memenuhi dua kondisi. Dalam baris ini, p adalah palsu. Oleh karena itu, dalam setiap contoh di mana p → q benar dan q salah, p juga harus menjadi palsu.^[12]

Pembuktian formal

Melalui silogisme disjungtif

Tabel Silogisme Disjungtif

Tahap	Proposisi	Turunan
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Diberikan
2	${\displaystyle \neg Q}$	Diberikan
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Implikasi (1)
4	${\displaystyle \neg P}$	Silogisme disjungtif (3,2)