Pembuktian matematika

Pembuktian matematika adalah sebuah demonstrasi argumen untuk menunjukkan asumsi-asumsi dalam suatu pernyataan matematika menghasilkan konklusi dengan logika yang runut, dengan bantuan argumen penalaran deduktif. Argumen tersebut boleh menggunakan pernyataan lain, seperti teorema, tetapi, suatu pembuktian matematika bisa disusun hanya dengan beberapa asumsi mendasar atau asli yang disebut sebagai aksioma,^[1][2] bersama dengan aturan inferensi yang diterima. Pembuktian matematika adalah contoh dari penalaran deduktif menyeluruh untuk memberikan kepastian logis, hal ini perlu dibedakan dengan argumen empiris atau penalaran induktif yang tidak menyeluruh untuk memberikan "ekspektasi yang masuk akal". Dalam pembuktian matematika, suatu pernyataan berlaku dan benar dalam banyak kasus tidak dapat menjadi bukti yang cukup. Suatu pernyataan berlaku apabila pernyataan tersebut berlaku dan benar untuk semua kasus. Suatu proposisi yang belum dapat dibuktikan, namun melalui serangkaian penalaran dipercaya sebagai suatu kebenaran disebut dengan konjektur, atau disebut juga dengan hipotesis apabila digunakan secara terus menerus untuk kajian matematis lebih dalam.

Pembukitan menggunakan logika yang diekspresikan dalam simbol matematika, bersama dengan bahasa alami yang biasanya menerima beberapa ambiguitas. Dalam kebanyakan literatur matematika, bukti ditulis dalam bentuk logika informal yang ketat. Pembuktian formal murni, yang ditulis sepenuhnya dalam bahasa simbolis tanpa melibatkan bahasa alami, dipertimbangkan dalam teori pembuktian. Perbedaan antara bukti formal dan informal telah menyebabkan perkembangan penelitian tentang praktik matematika kini dan di masa lalu, kuasi-empirisme dalam matematika, dan apa yang disebut matematika populer, tradisi lisan dalam komunitas matematika arus utama atau dalam budaya lain. Filsafat matematika berkaitan dengan peran bahasa dan logika dalam pembuktian, dan matematika sebagai bahasa.

Jenis pembuktikan

Terdapat sejumlah cara untuk membuktikan sebuah pernyataan pada:

• Induksi: Orang membuktikan teorema itu benar di suatu kejadian tertentu dan kemudian membuktikan kejadian selanjutnya juga benar.
• Pembuktian kontradiksi: Seseorang menunjukkan bahwa jika beberapa pernyataan salah, sebuah kontradiksi logika terjadi, karena itu pernyataan harus benar.
• Pembuktian langsung: Seseorang membuktikan suatu implikasi (A → B) dengan asumsi pada hipotesis A itu benar dan kemudian membuktikan kesimpulan B itu benar.
• Transposisi: Seseorang membuktikan sebuah implikasi (A → B) dengan asumsi pada kesimpulan B salah atau kemudian menentukan hipotesis itu juga salah.

Akhir bukti

Artikel utama: Q.E.D.

Terkadang, singkatan "Q.E.D." ditulis untuk menandakan akhir bukti. QED adalah singkatan dari "Quod Erat Demonstrandum", kata Latin untuk "itulah yang ditunjukkan". Cara lain adalah dengan menggunakan persegi atau segitiga, seperti □ atau ∎, yang dikenal sebagai "batu nisan" atau "halmos" yang diambil dari eponim Paul Halmos. Sering kali, kalimat "yang telah diperlihatkan" disebutkan secara verbal ketika menuliskan "QED", "□", atau "∎" saat presentasi oral. Unicode memberikan karakter "akhir pembuktian", U+220E ∎ akhir pembuktian (atau nilai desimalnya: 8718).