Teorema titik tetap Banach

Teorema titik tetap Banach, dikenal juga sebagai teorema pemetaan kontraksi, adalah suatu teorema matematika, khususnya topologi dan analisis fungsional. Teorema ini menjamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap dari suatu pemetaan kontraksi serta mennjami kekonvergenan dari lelaran titik tetap, yang kemudian menjadi cara konstruktif untuk menemukan titik tetap yang dimaksud. Nama teorema ini diambil dari nama Stefan Banach, seorang matematikawan Polandia, yang telah membuktikan^[1] teorema ini pada tahun 1922.

Pernyataan teorema

Misalkan ${\displaystyle (X,d)}$ ruang metrik lengkap dan ${\displaystyle f:X\to X}$ adalah pemetaan kontraksi, yakno terdapat ${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y)}$ untuk setiap ${\displaystyle x,y\in X}$. Maka ${\displaystyle f}$ mempunyai tepat satu titik tetap ${\displaystyle {\overline {x}}\in X}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle f({\overline {x}})={\overline {x}}}$.^[2][3]