Algildi

Algildi^[1][2] eða tölugildi^[2] (stunduð kallað lengd^[2]) er í stærðfræði fjarlægð tölu frá tölunni núll á rauntölulínunni og er það táknað með algildismerki^[3] eða tölugildismerki^[3] sem samanstendur af tveimur lóðréttum strikum hvort sínu megin við stæðuna: ${\displaystyle |x|}$.^[1] Algildi tölunnar ${\displaystyle a}$ er, ef hún er rauntala skilgreind á eftirfarandi hátt:^[1]

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{matrix}a,&a\geq 0\\-a,&a<0\end{matrix}}\right.}$

y = |x| sést hér sem rauð lína í kartesíusarhnitakerfi.
Þar sem algildi táknar fjarlægð frá núlli birtist línan beggja megin við miðásinn. Í stað þess að birtast bara öðru megin ef hún væri já– eða neikvæð.

sem merkir að ${\displaystyle |a|}$ hafi gildið ${\displaystyle a}$ ef ${\displaystyle a}$ er stærra en núll og gildið ${\displaystyle -a}$ sé ${\displaystyle a}$ minna en núll, algildi tölunnar ${\displaystyle 5}$ eða ${\displaystyle |5|}$ væri því einfaldlega ${\displaystyle 5}$ og algildi tölunnar ${\displaystyle -27,4}$ eða ${\displaystyle |-27,4|}$ væri því ${\displaystyle -(-27,4)}$ eða ${\displaystyle 27,4}$.

Algildi tvinntölunnar ${\displaystyle z}$ í jöfnunni ${\displaystyle z=a+bi}$ er skilgreint sem:

${\displaystyle |z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Ef vigur ${\displaystyle {\bar {v}}}$ í jöfnunni ${\displaystyle {\bar {v}}=x{\hat {x}}+y{\hat {y}}+z{\hat {z}}}$ sem tilgreinir bæði stefnu og lengd hans, samsvarar lengdin algildi vigursins.

${\displaystyle |{\bar {v}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Engin samvarandi jafna hinsvegar til fyrir fylki, sjá ákveðu og spor.

Eiginleikar

Algildi hefur eftirfarandi eiginleika:

1. ${\displaystyle |a|\geq 0}$
2. ${\displaystyle |a|=0}$ eff ${\displaystyle a=0}$
3. ${\displaystyle |ab|=|a||b|}$
4. ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}{\mbox{ ( ef }}b\neq 0{\mbox{)}}}$
5. ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$ (þríhyrningsójafna)
6. ${\displaystyle |a-b|\geq \left||a|-|b|\right|}$
7. ${\displaystyle \left|a\right|={\sqrt {a^{2}}}}$
8. ${\displaystyle |a|\leq b{\mbox{ eff }}-b\leq a\leq b}$
9. ${\displaystyle |a|\geq b{\mbox{ eff }}a\leq -b}$ eða ${\displaystyle b\leq a}$