Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè
dove la variabile indica un numero primo.
Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.
Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che
per ogni intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene
da cui
e infine
Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a si ricava
- [1]
Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.
Adesso definiamo il prodotto come
Sapendo che
- [2]
si ricava
dove l'insieme è definito come
Evidentemente se allora quindi
e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava
Adesso sapendo che per ogni si ottiene
dove l'ultimo membro diverge per tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.
La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.
Per assurdo sia allora esiste un numero primo tale che .
Sia un intero arbitrario, indichiamo con il numero di interi minori o uguali a che hanno solo fattori primi minori o uguali a , indichiamo anche . Abbiamo che
Ora stimiamo , scriviamo , ogni si può scrivere nella forma
dove è privo di quadrati e , se è divisibile solo per i primi minori o uguali a , allora lo è anche . Ci sono meno di possibili scelte per e meno di scelte per , da cui
e quindi
si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha e di conseguenza , quindi possiamo scegliere e troviamo
che è assurdo e conclude la dimostrazione.
Come nella dimostrazione precedente, notiamo che se la serie dei reciproci dei primi convergesse, allora esisterebbe tale che , dove con indichiamo il -esimo numero primo. Consideriamo ora il numero : si osserva immediatamente come per non sia divisibile dai primi . Dunque, la decomposizione in fattori primi di richiede i primi successivi a questi, ossia . Se ne deduce quindi che
poiché ogni termine della sommatoria a sinistra si può trovare sviluppando sufficientemente la doppia sommatoria a destra. Per la disuguaglianza ottenuta dall'ipotesi iniziale, segue però che
e la serie a destra, geometrica di ragione , converge a 1, quindi per il criterio del confronto anche la serie converge. Ciò è una contraddizione, poiché è immediato verificare come questa serie in realtà diverga: per il criterio di confronto tra serie e integrale, la nostra serie converge se e solo se converge il seguente integrale, , che però diverge, poiché
Quindi, come volevasi dimostrare, la serie dei reciproci dei primi diverge[3][4].
Questa è una serie telescopica che si riduce a . Questa è la formula (vista "al contrario") della serie geometrica, per cui, dato (in questo caso ), si ha .