Forma indeterminata
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Nella matematica, e in particolare nel calcolo infinitesimale, le scritture:[1]
individuano le cosiddette forme indeterminate, che sono collezioni di funzioni di una variabile reale esprimibili componendo (mediante una moltiplicazione, una divisione o un elevamento a potenza) due funzioni di variabile reale e aventi un determinato comportamento quando la variabile tende a un valore finito o infinito di aderenza per entrambi i domini delle funzioni.
Consideriamo in particolare la prima delle forme sopra introdotte; la funzione
relativamente al tendere della variabile ad un opportuno elemento dell'insieme dei reali esteso , si attribuisce alla forma se e tendono entrambe a quando tende a .
Può accadere che questa funzione rapporto si avvicini a un qualsiasi numero reale, a o a , oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla retta reale estesa; il suo comportamento dipende dalle caratteristiche delle funzioni e in vicinanza di . Ad esempio:
mentre:
La sostituzione diretta delle funzioni a numeratore e a denominatore con i corrispondenti limiti per entrambi i precedenti rapporti, porta ad attribuire la funzione alla forma indeterminata , mentre i limiti di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a e rispettivamente.
Per altri rapporti che appartengono alla stessa forma indeterminata il limite non esiste.
Osservazioni simili valgono per le altre forme indeterminate indicate in precedenza.
In molti casi, qualche semplificazione algebrica, la regola di De L'Hôpital, o altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione fino ad un punto nel quale si riesce a valutare il limite.
Il calcolo dei limiti notevoli può essere inoltre svolto o semplificato grazie alla stima asintotica.
Si noti che per qualsiasi non nullo e (si veda Divisione per zero) non sono forme indeterminate.