Grande icosidodecaedro camuso invertito

In geometria, il grande icosidodecaedro camuso invertito è un poliedro stellato uniforme avente 92 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.^[1]

Grande icosidodecaedro camuso invertito
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20+60 triangoli 12 pentagrammi
Nº facce	92
Nº spigoli	150
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	34.5/3
Notazione di Wythoff	| 5/3 2 3
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Grande esacontaedro pentagonale invertito
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosidodecaedro camuso invertito, spesso indicato con il simbolo U₆₉ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

${\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}$

con un numero pari di segni più, dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea, ${\displaystyle \xi \approx 1,2224727}$ è la più grande radice reale positiva dell'equazione ${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\varphi }}}$ e

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\xi -{\frac {1}{\xi }},\\[4pt]\beta &=-{\frac {\xi }{\varphi }}+{\frac {1}{\varphi ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Poliedri correlati

Dato un grande icosidodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, il suo circumraggio è pari a $${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,816081\dots }$$ dove ${\displaystyle x}$ è la soluzione dell'equazione

$${\displaystyle x^{3}+2x^{2}=\left({\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}.}$$

Le quattro radici positive dell'equazione in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, $${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$ sono, in ordine, i circumraggi del grande icosidodecaedro retrocamuso (U₇₄), del grande icosidodecaedro camuso (U₅₇), del grande icosidodecaedro camuso invertito (U₆₉) e del dodecaedro camuso (U₂₉).

Grande esacontaedro pentagonale invertito

Grande esacontaedro pentagonale invertito
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Pentagoni irregolari concavi
Nº facce	60
Nº spigoli	150
Nº vertici	92
Caratteristica di Eulero	2
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Grande icosidodecaedro camuso invertito

Il grande esacontaedro pentagonale invertito è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosidodecaedro camuso invertito, avente per facce 60 pentagoni irregolari concavi.^[2]

Dato un grande icosidodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro pentagonale invertito come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare concavo, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero ${\displaystyle \xi \approx 0,252\,780\,289\,27}$ - la più piccola radice positiva del polinomio ${\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}}$ - ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 75,357\,903\,417\,42^{\circ }}$ e un angolo di ampiezza pari a ${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 238,568\,386\,330\,33^{\circ }}$, con tre lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a ${\displaystyle {\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 3,528\,053\,034\,81}$