Integrale ellittico
Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
In matematica, e particolarmente nel calcolo integrale, un integrale ellittico è una qualsiasi funzione che può esprimersi nella forma:
dove denota una funzione razionale dei suoi due argomenti, è la radice quadrata di un polinomio in una variabile di grado o privo di radici multiple e è una costante. La funzione contiene almeno una potenza dispari di , mentre non ha fattori ripetuti.[1]
Il concetto di integrale ellittico è emerso originariamente in connessione con il problema del calcolo della lunghezza degli archi di un'ellisse. I primi ad interessarsene e studiarli sono stati Fagnano ed Eulero.
In generale, gli integrali ellittici non possono essere espressi in termini di funzioni elementari; si hanno eccezioni a questo fatto quando ha radici ripetute, o quando non contiene potenze dispari di . Comunque, con appropriate riduzioni delle formule ogni integrale ellittico può essere riportato a una forma che coinvolge integrali di funzioni razionali, e le tre forme canoniche: integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.
Oltre alle forme sopra definite, gli integrali ellittici possono essere espressi nella forma di Legendre e nella forma simmetrica di Carlson. Ulteriori informazioni nella teoria degli integrali incompleti possono essere ricavate tramite l'utilizzo della trasformazione di Schwarz-Christoffel.
Le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici, e in particolare la tale che si abbia , dove denota una delle funzioni ellittiche di Jacobi.