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In analisi matematica, la matrice hessiana di una funzione di variabili a valori in un campo di scalari, anche detta matrice di Hesse o semplicemente hessiana (o ultragradiente), è la matrice quadrata delle derivate parziali seconde della funzione. Il nome è dovuto a Ludwig Otto Hesse.
Data una funzione reale di variabili reali , se tutte le sue derivate parziali seconde esistono allora si definisce matrice hessiana della funzione la matrice data da:
cui si associa l'operatore:
L'hessiana di fatto rappresenta la jacobiana del gradiente, sinteticamente:
Gli elementi fuori dalla diagonale principale nell'hessiana sono le derivate miste della funzione . Con opportune ipotesi, vale il teorema seguente:
Questa uguaglianza si scrive anche come:
In termini formali: se tutte le derivate seconde di sono continue in una regione , allora l'hessiana di è una matrice simmetrica in ogni punto di . La veridicità di questa affermazione è nota come teorema di Schwarz.
Se il gradiente della funzione è nullo in un punto appartenente al dominio della funzione, allora in ha un punto critico. Il determinante dell'hessiana (detto semplicemente hessiano) in è anche detto discriminante in . Se questo determinante è zero allora è chiamato punto critico degenere della . Negli altri punti viene chiamato non degenere.
Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico non degenere:
Altrimenti il test è inconclusivo. Si noti che per hessiane semidefinite positive e semidefinite negative il test è inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di più dal punto di vista della teoria di Morse.
Tenuto conto di quanto è stato appena detto, il test per le derivate seconde per funzioni di una e due variabili sono semplici.
In una variabile, l'hessiana contiene appena una derivata seconda:
In due variabili, può essere usato il determinante, perché è il prodotto degli autovalori:
Se è invece una funzione a valori vettoriali, cioè se
allora il vettore delle derivate parziali seconde non è una matrice, ma un tensore di rango 3.
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