Teorema di Schwarz

In analisi matematica, il teorema di Schwarz è un importante teorema che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

Disambiguazione – Se stai cercando il Lemma di Schwarz sulle funzioni olomorfe, vedi Lemma di Schwarz.

Il teorema in due variabili

Sia ${\displaystyle f\colon \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ una funzione in due variabili, definita su un aperto ${\displaystyle \Omega }$ del piano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Se ${\displaystyle f}$ ammette derivate seconde miste continue, ad esempio se ${\displaystyle f\in C^{2}(\Omega )}$, allora queste coincidono in ogni punto ${\displaystyle p}$, ovvero:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\equiv {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$

In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.

Come conseguenza, se una funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ha derivate seconde miste continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

Dimostrazione

Sia ${\displaystyle p=(x_{0},y_{0})\in \Omega }$. Si scelgono due reali ${\displaystyle \varepsilon }$, ${\displaystyle \delta >0\,}$ tali che ${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\times (y_{0}-\delta ,y_{0}+\delta )\subset \Omega }$. Ciò è possibile, poiché ${\displaystyle \Omega }$ è un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Si definiscono due funzioni ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle G}$ come segue:

${\displaystyle F\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle G\colon (-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

in modo che:

${\displaystyle F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )}$

${\displaystyle G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$

Si prova facilmente che, fissati ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle s}$ nei rispettivi intervalli:

${\displaystyle F(t)-F(0)=G(s)-G(0).}$

Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:

${\displaystyle F(t)-F(0)=tF'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})}$

e analogamente:

${\displaystyle G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2}),}$

con ${\displaystyle \xi _{i}\in (0,t)}$ e ${\displaystyle \sigma _{i}\in (0,s)}$, dove per comodità di scrittura si sono assunti ${\displaystyle t,s>0\,}$.

Facendo tendere ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle s}$ a ${\displaystyle 0}$ (e quindi anche ${\displaystyle \xi _{i}}$ e ${\displaystyle \sigma _{i}}$), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})}$, cioè la tesi.

Esempio

Sia:

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}x}$

Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :

${\displaystyle f_{x}=2xy^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle f_{y}=2yx^{2}+3xy^{2}}$

queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:

${\displaystyle f_{xy}=4xy+3y^{2}}$

${\displaystyle f_{yx}=4xy+3y^{2}}$

Quindi ${\displaystyle f_{xy}=f_{yx}}$.

Esempio di funzione con derivate parziali miste diverse

Il grafico della funzione f(x, y) di Peano qui accanto. Si può notare che è omogenea di grado 2, però girando attorno all'origine si sale e poi scende 4 volte, troppo per una forma quadratica in due variabili.

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente.^[1] Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua:

${\displaystyle f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}$

Si hanno derivate parziali prime continue:

${\displaystyle f_{x}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}y{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+xy{\frac {2x(x^{2}+y^{2})-2x(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle f_{y}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}-x{\frac {y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}-xy{\frac {2y(x^{2}+y^{2})-2y(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}$

Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:

${\displaystyle f_{xy}(0,0)=\lim _{k\to 0}{\frac {f_{x}(0,k)-f_{x}(0,0)}{k}}=-1}$

${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f_{y}(h,0)-f_{y}(0,0)}{h}}=+1}$

Dunque ${\displaystyle f_{yx}\neq \ f_{xy}}$.