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Il metodo degli spostamenti è uno dei due possibili metodi di risoluzione del problema elastico-statico, assieme al metodo degli sforzi.
Partendo dalle equazioni di equilibrio, cinematiche e costitutive:
che costituiscono un sistema differenziale del secondo ordine, a 9 incognite in 9 equazioni, si può arrivare a scrivere tre equazioni scalari nelle sole incognite spostamento note come equazioni di Navier[1]. Si noti che è il tensore delle tensioni, il vettore delle forze esterne e il vettore degli spostamenti. Il sistema è del secondo ordine per cui l'ordine di continuità della soluzione è unitario. Gli spostamenti sono quindi soluzione continua come conseguenza della forma matematica del sistema e non occorre aggiungere alcuna condizione di compatibilità o congruenza.
Per arrivare alle equazioni di Navier si parte dalla prima equazione sostituendo agli sforzi le loro espressioni in termini di deformazioni attraverso il legame costitutivo, e quindi sostituendo le deformazioni stesse con le derivate degli spostamenti attraverso il legame cinematico.
Le equazioni di Navier in forma vettoriale si scrivono come:
cioè scalarmente:
Con:
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