Prismatoide

In geometria solida, un prismatoide è un poliedro i cui vertici giacciono in due piani paralleli. I prismatoidi includono le piramidi e i prismi.

Esempi

Esistono varie famiglie infinite di prismatoidi. Qui sono elencate le più usate.

Piramide

Prisma

Antiprisma

Prisma stellato

Cupola

Tronco di piramide

• Una piramide ha una faccia detta base ed un altro vertice collegato a questa tramite facce triangolari.
• Un prisma ha due facce congruenti che giacciono su due piani paralleli, collegate con parallelogrammi laterali.
• Un antiprisma è simile al prisma: ha come facce due poligoni regolari congruenti posti su due piani paralleli, collegati però da triangoli.
• Un prisma stellato o un antiprisma stellato è definito analogamente: le due basi sono però poligoni stellati.
• Una cupola ha due facce non congruenti, collegate da rettangoli e triangoli.
• Un tronco di piramide ha due facce non congruenti ma simili, collegate da trapezi.

Volume

Esiste una formula per il calcolo del volume valida per tutti i prismatoidi.

I vertici di un prismatoide giacciono su due piani ${\displaystyle P_{1}}$ e ${\displaystyle P_{3}}$ paralleli. Sia ${\displaystyle P_{2}}$ il piano parallelo che giace a metà fra ${\displaystyle P_{1}}$ e ${\displaystyle P_{3}}$. Ciascuno dei ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ interseca il prismatoide in un poligono, un segmento o un punto (il piano intermedio ${\displaystyle P_{2}}$ interseca il prismatoide necessariamente in un poligono). Siano ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$ le aree di queste intersezioni (zero se è un segmento o punto, positiva se è un poligono).

Sia ${\displaystyle h}$l'altezza del prismatoide, cioè la distanza fra i due piani ${\displaystyle P_{1}}$ e ${\displaystyle P_{3}}$.

Il volume di un prismatoide è pari a

${\displaystyle V=h{\frac {A_{1}+4A_{2}+A_{3}}{6}}.}$

Simmetrie

I prismatodi "sufficientemente regolari" possiedono un asse di simmetria di ordine n>2 ortogonale ai piani paralleli, ed il loro gruppo di simmetria è ciclico (${\displaystyle C_{n}}$,${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$, ${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$) o diedrale (${\displaystyle D_{n}}$, ${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$, ${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$), simile cioè al gruppo di simmetrie di un poligono nel piano.

Alcuni prismatoidi possiedono più assi di ordine superiore e quindi sono iscritti in un gruppo di simmetria superiore: tra questi, il tetraedro regolare, il cubo e l'ottaedro regolare.

Esistono anche prismatoidi privi di assi di simmetria (ad esempio i prismi, tra cui i parallelepipedi, non retti) o completamente privi elementi di dimmetria (ad esempio le piramidi e i tronchi di piramide non retti).

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Prismatoide, su MathWorld, Wolfram Research.

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