Campo algebricamente chiuso

In matematica, un campo algebricamente chiuso è un campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ in cui ogni polinomio non costante a coefficienti in ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ha una radice in ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (cioè un elemento ${\displaystyle x}$ tale che il valore del polinomio in ${\displaystyle x}$ è l'elemento neutro dell'addizione del campo).

Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale

${\displaystyle 3x^{2}+1=0}$

non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra.

Proprietà equivalenti

Un modo comune di esprimere il fatto che un campo ${\displaystyle F}$ è algebricamente chiuso è attraverso la riducibilità dei suoi polinomi: ${\displaystyle F}$ è algebricamente chiuso se e solo se ogni polinomio ${\displaystyle p(x)}$ di grado ${\displaystyle n\geq 1}$ può essere decomposto come ${\displaystyle p(x)=K(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})}$, dove ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ sono elementi di ${\displaystyle F}$. Gli ${\displaystyle x_{i}}$ sono precisamente gli elementi del campo che annullano ${\displaystyle p(x)}$. Equivalentemente, ${\displaystyle F}$ è algebricamente chiuso se e solo se gli unici polinomi irriducibili sono quelli lineari.

Dalla definizione segue anche che un campo è algebricamente chiuso se e solo se non possiede estensioni algebriche proprie, o se e solo se non possiede estensioni finite proprie.

Cardinalità

Si noti che nessun campo algebricamente chiuso può essere finito.

Supponiamo che esista un campo ${\displaystyle (K,+,\times )=\{0_{K},1_{K},k_{1},\ldots ,k_{n}\}}$ con ${\displaystyle n+2}$ elementi (con ${\displaystyle 0_{K}}$ elemento neutro e ${\displaystyle 1_{K}}$ unità) algebricamente chiuso; prendiamo allora il polinomio ${\displaystyle p(x)=x(x-1_{K})(x-k_{1})\ldots (x-k_{n})+y}$, con ${\displaystyle y\in K:y\neq 0_{K}}$ e ${\displaystyle \deg(p)=n+2\geq 1}$.

Risulta automatico che per ogni ${\displaystyle x\in K,}$ si ha ${\displaystyle p(x)=y\neq 0_{K}}$ e quindi ${\displaystyle K}$ non può essere algebricamente chiuso, perché esisterebbe almeno un polinomio irriducibile a coefficienti in ${\displaystyle K}$ di grado maggiore o uguale a 1.

È anche interessante notare come questa dimostrazione risulti analoga alla dimostrazione del teorema dell'infinità dei numeri primi in ${\displaystyle \mathbb {N} }$, in quanto equivalente ad affermare che esistono infiniti elementi irriducibili in ${\displaystyle K[x]}$ per un campo ${\displaystyle K}$ arbitrario.

Non è necessaria una cardinalità superiore ad ${\displaystyle \aleph _{0}}$, basti prendere l'insieme dei numeri algebrici su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ la cui cardinalità è uguale a quella di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ che è numerabile.

Chiusura algebrica

Lo stesso argomento in dettaglio: Chiusura algebrica.

Ogni campo ${\displaystyle F}$ può essere incluso in un campo ${\displaystyle K}$ algebricamente chiuso che è, in un certo senso, "il più piccolo" campo algebricamente chiuso che lo contiene: più precisamente, tale che nessun campo intermedio tra ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle K}$ è algebricamente chiuso o, equivalentemente, tale che ${\displaystyle K}$ è algebrico su ${\displaystyle F}$. In questo caso, ${\displaystyle K}$ è detto una chiusura algebrica di ${\displaystyle F}$: due chiusure algebriche di ${\displaystyle F}$ sono sempre tra loro isomorfe, sebbene non sia possibile in genere stabilire un isomorfismo canonico tra due chiusure algebriche (astratte) di ${\displaystyle F}$. Per dimostrare questa proprietà è necessario usare il lemma di Zorn.

Ad esempio, il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali, ma non è la chiusura algebrica dei numeri razionali, che è invece il campo dei numeri algebrici.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

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