Algoritmo di Chudnovsky

L'algoritmo di Chudnovsky rappresenta un metodo veloce per il calcolo delle cifre decimali della costante Pi greco. Fu pubblicato dai Fratelli Čudnovskij nel 1989^[1], ed usato per ottenere il record mondiale con il calcolo di 2,7 bilioni di cifre decimali di π nel dicembre del 2009^[2], 5 bilioni di cifre decimali nell'agosto del 2010^[3], 10 bilioni di cifre decimali nell'ottobre del 2011^[4][5] e 12,1 bilioni di decimali del dicembre del 2013^[6], 62,83 bilioni di cifre decimali nel 2022^[7].

L'algoritmo di basa sul numero di Heegner negato ${\displaystyle d=-163}$, la funzione j ${\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}}$ e sulla rapida convergenza della serie ipergeometrica generalizzata:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1/2}}}.\!}$

Si noti che 545140134 = 163 x 3344418 e,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots }$

Questa identità è simile a quella di alcune formule di Ramanujan che riguardano π^[2] ed è un esempio di una Serie di Ramanujan–Sato.