Algoritmo di Lagrange

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'algoritmo di Lagrange è un algoritmo utile a trovare una base ortogonale in uno spazio vettoriale di dimensione finita munito di un prodotto scalare. Si tratta di una variante del processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt utilizzata nel caso in cui il prodotto scalare non sia definito positivo.

L'algoritmo

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo ${\displaystyle K}$ di caratteristica diversa da 2, con forma bilineare simmetrica ${\displaystyle \phi }$. L'algoritmo costruisce una base ortogonale a partire da una base ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ data. Si tratta di applicare iterativamente per ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ le mosse seguenti:

• Se ${\displaystyle v_{i}}$ non è isotropo, allora ${\displaystyle \phi (v_{i},v_{i})\neq 0}$ e si definisce

${\displaystyle v'_{i}=v_{i}-\sum _{j>i}{\frac {\phi (v_{i},v_{j})}{\phi (v_{j},v_{j})}}v_{j}}$

Il risultato è un vettore ${\displaystyle v'_{i}}$ che continua a formare una base con i vettori restanti, ma ortogonale a tutti i vettori successivi: infatti ${\displaystyle \phi (v_{i}',v_{j})=0}$ per ogni ${\displaystyle j>i}$. Quindi si sostituisce ${\displaystyle v_{i}}$ con ${\displaystyle v_{i}'}$.

• Se ${\displaystyle v_{i}}$ è un vettore isotropo, viene scambiato con un elemento non isotropo ${\displaystyle v_{j}}$ con ${\displaystyle j>i}$. Nel caso in cui tutti tali vettori siano isotropi, si cerca un vettore non isotropo tra i ${\displaystyle v_{j}+v_{k}}$ con ${\displaystyle j,k\geq i}$. Se anche tutti questi sono isotropi, allora la base è già ortogonale e l'algoritmo si interrompe.

Voci correlate

• Criterio di Jacobi
• Problemi sui reticoli
• Segnatura (algebra lineare)
• Teorema di Sylvester

Collegamenti esterni

• (EN) Curtis Bright - Algorithms for Lattice Basis Reduction (PDF), su cs.uwaterloo.ca.

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