Asse di un segmento

In geometria euclidea l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio. È definito il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza dai due estremi del segmento.^[1]

Asse ${\displaystyle r}$ del segmento ${\displaystyle AB}$

Si può dimostrare mediante il teorema di Pitagora che un qualsiasi punto ${\displaystyle X}$ sulla retta ${\displaystyle r}$ è equidistante sia da ${\displaystyle A}$ che da ${\displaystyle B}$, formalmente ${\displaystyle {\overline {XA}}={\overline {XB}}}$.^[2]

Dimostrazione con il teorema di Pitagora

Si hanno le ipotesi:

1. ${\displaystyle {\overline {AM}}={\overline {BM}}}$;
2. il segmento e l'asse sono ortogonali.$${\displaystyle {\overline {XA}}^{2}={\overline {AM}}^{2}+{\overline {XM}}^{2}={\overline {BM}}^{2}+{\overline {XM}}^{2}={\overline {XB}}^{2}}$$$${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {XB}}\qquad \forall X\in r}$$

Costruzione con righello e compasso

Costruzione con righello e compasso con ${\displaystyle r={\overline {AB}}}$

Per costruire l'asse del segmento ${\displaystyle AB}$ con righello e compasso si disegnano due cerchi di raggio uguale, purché sia ${\displaystyle r>{\frac {1}{2}}{\overline {AB}}}$, e i cui centri sono gli estremi del segmento.

L'asse è determinato dai punti di intersezione delle due circonferenze. La retta viene determinata senza conoscere il punto medio ${\displaystyle M}$, perciò si può ottenere tramite intersezione tra l'asse e il segmento.^[3]

Metodo analitico

Siano sul piano cartesiano ${\displaystyle A=(x_{A},y_{A})}$ e ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B})}$ le coordinate dei due estremi, allora il punto medio è ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M})={\biggl (}{\frac {x_{A}+x_{B}}{2}},{\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}{\biggr )}}$ e il segmento appartiene alla retta di coefficiente angolare ${\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{a}}}}$.

L'asse ${\displaystyle r}$ è per definizione perpendicolare ad ${\displaystyle AB}$, perciò ha coefficiente angolare ${\displaystyle m_{r}=-{\frac {1}{m_{AB}}}}$^[4] e deve passare per ${\displaystyle M}$, da cui si ricava l'intercetta ${\displaystyle q_{r}=y_{M}-m_{r}\cdot x_{M}}$. Perciò l'equazione dell'asse è:^[5]$${\displaystyle y=m_{r}\cdot x+q_{r}}$$

Proprietà dell'asse di un segmento

In un triangolo, tutti gli assi dei lati si incontrano nel circocentro O, che coincide con il centro della circonferenza circoscritta circoscritta al triangolo e sono sempre su di essi anche i centri J dei cerchi di Johnson. Il circocentro è interno al triangolo acutangolo, sul punto medio dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e esterno all'ottusangolo.

Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno al poligono che è il centro della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta.^[1]