Bias di Chebyshev

Nella teoria dei numeri, il bias di Chebyshev è il fenomeno per cui i numeri primi inferiori a un dato numero che sono della forma ${\displaystyle 4k+3}$ sono per la maggior parte delle volte più numerosi di quelli della forma ${\displaystyle 4k+1}$, nonostante il loro limite sia lo stesso. Questo fenomeno fu osservato per la prima volta da Čebyšëv nel 1853.

Grafico della funzione ${\displaystyle \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)}$ per ${\displaystyle n\leq 30000}$

Descrizione

Sia ${\displaystyle \pi (x;n,m)}$ il numero di primi fino a ${\displaystyle x}$ della forma ${\displaystyle nk+m}$. Per il teorema dei numeri primi (esteso alle progressioni aritmetiche),

${\displaystyle \pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}},}$

cioè mediamente metà dei numeri primi sono della forma ${\displaystyle 4k+1}$, e metà della forma ${\displaystyle 4k+3}$. Sarebbe dunque ragionevole supporre che, al variare di ${\displaystyle x}$, una forma prevalga sull'altra nel 50% circa dei casi.

Le prove numeriche, tuttavia, non supportano tale ipotesi: infatti, ${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$ si verifica molto più frequentemente. Ad esempio, questa disuguaglianza vale per tutti i primi minori di 26833 eccetto 5, 17, 41 e 461, nel qual caso si ha ${\displaystyle \pi (x;4,3)=\pi (x;4,1)}$. Il primo numero primo tale che ${\displaystyle \pi (x;4,3)<\pi (x;4,1)}$ è 26861.

In generale, con ${\displaystyle a,b}$ numeri interi tali che ${\displaystyle 0<a,b<n}$, se ${\displaystyle MCD(a,n)=MCD(b,n)=1}$ e ${\displaystyle a}$ è un residuo quadratico mod ${\displaystyle n}$, e ${\displaystyle b}$ è un non-residuo quadratico mod ${\displaystyle n}$, allora ${\displaystyle \pi (x;n,b)=\pi (x;n,a)}$ si verifica con maggiore frequenza; tuttavia la dimostrazione è possibile solo assumendo forme forti dell'ipotesi di Riemann.

La congettura più forte di Knapowski e Turán, secondo cui sarebbe unitaria la densità dei numeri per cui vale ${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$ si è rivelata falsa. In sostanza questa congettura affermerebbe che tale disuguaglianza vale per quasi tutti gli ${\displaystyle x}$. Tuttavia, anche se la congettura non risulta vera, è noto che la densità logaritmica dei valori che la verificano è di circa 0,9959...^[1].