Bidirectional reflectance distribution function

Con il termine bidirectional reflectance distribution function (BRDF; ${\displaystyle f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})}$) si intende una misura della distribuzione della riflettanza. È una funzione a quattro dimensioni che definisce quanta luce è riflessa su una superficie opaca. La funzione considera la direzione della luce che arriva (${\displaystyle \omega _{i}}$) e quella che va ${\displaystyle \omega _{o}}$, entrambe rispetto alla normale alla superficie ${\displaystyle n}$. Questa funzione ritorna il rapporto tra la radianza riflessa esistente lungo ${\displaystyle \omega _{o}}$ e l'irradianza incidente sulla superficie dalla direzione ${\displaystyle \omega _{i}}$. Notare che ogni direzione ${\displaystyle \omega }$ è parametrizzata da un angolo azimuth ${\displaystyle \phi }$ e da un angolo zenith ${\displaystyle \theta }$ (per questo ha quattro dimensioni). La BRDF ha come unità di misura ${\displaystyle sr^{-1}}$, dove con ${\displaystyle sr}$ si intende lo steradiante.

Diagramma che illustra i vettori utili per il calcolo della BRDF. Tutti i vettori sono unitari. ${\displaystyle \omega _{i}}$ è diretto verso la sorgente di luce, mentre ${\displaystyle \omega _{o}}$ verso il sensore. ${\displaystyle n}$ è la normale alla superficie.

Definizione

La BRDF fu definita per prima da Edward Nicodemus attorno al 1965^[1]. La moderna definizione è:

${\displaystyle f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})={\frac {dL_{r}(\omega _{o})}{dE_{i}(\omega _{i})}}={\frac {dL_{r}(\omega _{o})}{L_{i}(\omega _{i})\cos \theta _{i}\,d\omega _{i}}}}$

dove ${\displaystyle L}$ è la radianza, ${\displaystyle E}$ è l'irradianza, e ${\displaystyle \theta _{i}}$ è l'angolo tra ${\displaystyle \omega _{i}}$ e la normale alla superficie ${\displaystyle n}$.

Proprietà

La BRDF ha le seguenti proprietà:

• positiva: ${\displaystyle f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})\geq 0}$
• segue la legge di reciprocità di Helmholtz: ${\displaystyle f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})=f_{r}(\omega _{o},\omega _{i})}$.
• conserva l'energia: ${\displaystyle \forall \omega _{i},\int _{\Omega }f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})\,\cos {\theta _{o}}d\omega _{o}\leq 1}$