Caustica (matematica)

In geometria differenziale e ottica geometrica, una caustica è l'inviluppo di raggi riflessi o rifratti da una varietà. È legata al concetto di caustica in ottica. La sorgente del raggio può essere un punto (chiamato radiante) o raggi paralleli da un punto all'infinito, nel qual caso deve essere specificato un vettore di direzione dei raggi.

Caustica riflessiva generata da un cerchio e da raggi paralleli

Più in generale, specialmente quando applicata alla geometria simplettica e alla teoria delle singolarità, una caustica è l'insieme dei valori critici della mappatura lagrangiana (π ○ i) : L ↪ M ↠ B; dove i : L ↪ M è una immersione lagrangiana di una sottovarietà lagrangiana L in una varietà simplettica M, e π : M ↠ B è a fibrazione lagrangiana della varietà simplettica M. La caustica è un sottoinsieme dello spazio di base B della fibrazione lagrangiana.^[1]

Catacaustica

Una catacaustica è il caso riflessivo.

Con un radiante, è l'evoluta dell'ortotomica del radiante.

Il caso dei raggi planari, paralleli alla sorgente: si supponga che il vettore di direzione sia ${\displaystyle (a,b)}$ e che la curva speculare sia parametrizzata come ${\displaystyle (u(t),v(t))}$. Il vettore normale in un punto è ${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$; il riflesso del vettore di direzione è (la normale richiede una normalizzazione speciale)

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

Facendo trattare alle componenti del vettore riflesso trovato con me una tangente

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

Usando la forma più semplice di inviluppo

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$ ${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')+b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

che può essere antiestetico, ma ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ dà un sistema lineare in ${\displaystyle (x,y)}$ e così è elementare ottenere una parametrizzazione della catacaustica. Servirebbe la regola di Cramer.

Esempio

Il vettore di direzione sia (0,1) e lo specchio sia ${\displaystyle (t,t^{2}).}$ Allora

${\displaystyle u'=1}$   ${\displaystyle u''=0}$   ${\displaystyle v'=2t}$   ${\displaystyle v''=2}$   ${\displaystyle a=0}$   ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

e ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ha soluzione ${\displaystyle (0,1/4)}$; cioè, la luce che entra in uno specchio parabolico parallelo al suo asse è riflesso attraverso il fuoco.