Classi caratteristiche

Le classi caratteristiche sono degli invarianti topologici di fibrati.

Classi caratteristiche di fibrati vettoriali

Sia ${\displaystyle X}$ una varietà. Si fissi un campo ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ e un numero naturale ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

È possibile dimostrare che esiste uno spazio topologico, detto classificante, il cui tipo di omotopia è denotato come ${\displaystyle BGL(n,\mathbb {K} )}$, tale che le classi di isomorfismo di fibrati vettoriali sul campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ , di rango ${\displaystyle n}$ e base ${\displaystyle X}$, sono in bijezione con le classi di omotopia di mappe ${\displaystyle X\to BGL(n,\mathbb {K} )}$. Più concisamente, denotando con ${\displaystyle \mathrm {Vect} (X,n,\mathbb {K} )}$ le classi di isomorfismo di detti fibrati vettoriali, esiste una bijezione

${\displaystyle \Phi$ :\mathrm {Vect} (X,n,\mathbb {K} )\to [X,BGL(n,\mathbb {K} )].}

Segue, usando ${\displaystyle \Phi }$, che è possibile pensare ai suddetti fibrati vettoriali (a meno di isomorfismo) come a mappe ${\displaystyle X\to BGL(n,\mathbb {K} )}$.

Adesso per ogni classe di coomologia ${\displaystyle \omega \in H^{k}(BGL(n,\mathbb {K} );R)}$ dove ${\displaystyle \ k\in \mathbb {N} }$ ed ${\displaystyle R}$ è un anello abeliano, possiamo costruire un invariante di fibrati vettoriali come sopra.

L'invariante associa ad un fibrato ${\displaystyle f:X\to BGL(n,\mathbb {K} )}$ la classe di coomologia ${\displaystyle f^{*}\omega \in H^{k}(X;R)}$ (il pull-back di ${\displaystyle \omega }$). Dato che tale classe dipende solo dal tipo di omotopia della funzione ${\displaystyle f}$, abbiamo invero ottenuto un invariante del tipo di isomorfismo del fibrato vettoriale associato.

Le classi di coomologia del tipo ${\displaystyle f^{*}\omega \in H^{k}(X;R)}$ sono dette classi caratteristiche del fibrato.

Esempi

Nel caso di fibrati in rette complessi, si ha che ${\displaystyle H^{*}(BGL(1,\mathbb {C} );\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} [c_{1}]}$, ovvero la coomologia dello spazio classificante è isomorfa all'anello dei polinomi in una variabile ${\displaystyle c_{1}}$ di grado ${\displaystyle 2}$. La classe caratteristica dei fibrati in rette associata a ${\displaystyle c_{1}}$ è detta prima classe di Chern del fibrato. Un fibrato in rette ${\displaystyle E\to X}$ è banale se e solo se la prima classe di Chern ${\displaystyle c_{1}(E)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ è nulla.

Se ${\displaystyle E\to X}$ è un fibrato in rette (complesso) su una varietà liscia, orientata. È possibile calcolare ${\displaystyle c_{1}(E)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$, nel seguente modo. Sia ${\displaystyle \sigma :X\to E}$ una sezione generica. L'intersezione ${\displaystyle S=\sigma (X)\cap X}$, dove stiamo identificando ${\displaystyle X}$ con la zero sezione di ${\displaystyle E}$, è una sottovarietà orientabile di codimensione due in ${\displaystyle X}$. Il duale di Poincarè della classe fondamentale di ${\displaystyle S}$ è proprio ${\displaystyle c_{1}(E)}$ (per una opportuna scelta di orientazione di ${\displaystyle S}$).

Più in generale ${\displaystyle H^{*}(BGL(n,\mathbb {C} );\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} [c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}]}$ dove ${\displaystyle c_{k}}$ ha grado ${\displaystyle 2k}$. La classe caratteristica associata a ${\displaystyle c_{k}}$ è detta ${\displaystyle k}$-esima classe di Chern del fibrato. Tali classi rappresentano un'ostruzione a banalizzare il fibrato.

Teoria di Chern-Weyl

Nel caso in cui ${\displaystyle E\to X}$ sia un fibrato vettoriale su una varietà liscia, è possibile trovare dei rappresentanti delle classi caratteristiche (a coefficienti reali) nella coomologia di de Rham. Tale costruzione, oggetto della cosiddetta teoria di Chern-Weyl, costruisce una forma differenziale chiusa su ${\displaystyle X}$ a partire dalla curvatura di una connessione (qualunque) sul fibrato tramite speciali polinomi.

Generalizzazioni

È possibile generalizzare il discorso ai fibrati principali di gruppo ${\displaystyle G}$. In questo caso lo spazio classificante si denota con ${\displaystyle BG}$ e le classi caratteristiche sono ottenute considerando il pull-back di elementi di ${\displaystyle H^{*}(BG;R)}$.

Un'altra possible generalizzazione riguarda la base dei fibrati in questione. Per semplicità ci siamo limitati a supporre che ${\displaystyle X}$ sia una varietà. Tuttavia è possibile ampliare il discorso a spazi topologici più generali, estendendo in maniera opportuna la definizione di fibrato vettoriale.

Bibliografia

• Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79160-X. and ISBN 0-521-79540-0
• J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, 1999. URL consultato il 27 settembre 2008 (archiviato dall'url originale il 9 ottobre 2022).

Voci correlate

• Omotopia
• Fibrato vettoriale
• Coomologia di de Rham
• Coomologia simpliciale
• Coomologia cellulare

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