Coordinate di un vettore

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso.^[1]

Definizione

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$. Sia l'insieme ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ di elementi di ${\displaystyle V}$ una base ordinata di ${\displaystyle V}$. Allora ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {w} \in V}$ si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

${\displaystyle \mathbf {w} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}}$

Si definisce l'insieme delle coordinate di ${\displaystyle \mathbf {w} }$ rispetto alla base data il vettore:^[1]

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere ${\displaystyle \mathbf {w} }$, e dipende quindi dalla scelta della base stessa. Per specificare che ${\displaystyle \mathbf {w} }$ è scritto rispetto alla base ${\displaystyle B}$ si usa spesso la notazione ${\displaystyle [\mathbf {w} ]_{B}}$.

La mappa ${\displaystyle \phi _{B}:V\to K^{n}}$ che associa ad ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ le sue coordinate ${\displaystyle \phi _{B}(\mathbf {v} )=[\mathbf {v} ]_{B}}$ rispetto a ${\displaystyle B}$ è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè un'applicazione lineare biettiva,^[2] la cui trasformazione inversa ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:K^{n}\to V}$ è data da:

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$

Questa funzione viene anche chiamata rappresentazione standard di ${\displaystyle V}$ rispetto a ${\displaystyle B}$.

Cambiamento di coordinate

Siano ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ due basi diverse di ${\displaystyle V}$. Siano ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\dots ,\mathbf {b} _{n}}$ i vettori che compongono la base ${\displaystyle B}$.

Si denoti con ${\displaystyle [M]_{C}^{B}}$ la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ rispetto ai vettori della base ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle [M]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}\ [\mathbf {b} _{1}]_{C}&\cdots &[\mathbf {b} _{n}]_{C}\ \end{bmatrix}}}$

Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da ${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle C}$. Si ha allora:^[3]

${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{C}=[M]_{C}^{B}[\mathbf {v} ]_{B}\qquad [\mathbf {v} ]_{B}=([M]_{C}^{B})^{-1}[\mathbf {v} ]_{C}}$

In particolare, la matrice ${\displaystyle [M]_{C}^{B}}$ è la matrice associata all'identità rispetto alle basi ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$.