Distribuzione chi quadrato non centrale

In teoria delle probabilità una distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}}$ non centrale (chi quadrato, o chi quadro), è una distribuzione di probabilità che generalizza la distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}}$, descrivendo la somma dei quadrati di variabili aleatorie con distribuzioni normali ridotte ma non centrate.

distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}}$ non centrale
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\ }$ (gradi di libertà) ${\displaystyle \lambda \geqslant 0\ }$ non centralità
Supporto	${\displaystyle x\in [0,\infty [}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma (j+k/2,x/2)}{\Gamma (j+k/2)}}}$
Valore atteso	${\displaystyle k+\lambda }$
Varianza	${\displaystyle 2(k+2\lambda )}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle {\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}}$ per ${\displaystyle 2t<1}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle {\frac {e^{i\lambda t/(1-2it)}}{(1-2it)^{k/2}}}}$

In statistica viene impiegata per l'analisi della varianza e per alcuni test di verifica d'ipotesi.

Definizione

La distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k,\lambda )}$ descrive la variabile aleatoria

${\displaystyle \textstyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}=X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2}}$,

dove ${\displaystyle X_{1},...,X_{k}}$ sono variabili aleatorie variabili indipendenti aventi distribuzioni normali ridotte (ma non necessariamente centrate) ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{1},1),...,{\mathcal {N}}(\mu _{k},1)}$, i cui valori attesi soddisfano

${\displaystyle \textstyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}}$.

Il parametro k è detto numero di gradi di libertà e ${\displaystyle \lambda }$ è il parametro di non centralità. (La notazione per ${\displaystyle \lambda }$ non è uniforme: alcuni autori prendono ${\displaystyle \lambda }$ pari alla metà, oppure alla radice quadrata di questa somma.)

In particolare, per ${\displaystyle \lambda =0}$ le variabili ${\displaystyle X_{i}}$ sono centrate e si ottiene nuovamente la distribuzione χ²:

${\displaystyle \chi ^{2}(k,0)=\chi ^{2}(k)\ }$

È possibile definire la distribuzione χ² non centrale anche tramite variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle Y_{1},...,Y_{i}}$ di distribuzione normale standard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, prendendo ${\displaystyle X_{i}=Y_{i}+\mu _{i}}$, ovvero

${\displaystyle \textstyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}(Y_{i}+\mu _{i})^{2}\ }$.

Indipendenza di λ

La distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k,\lambda )}$ dipende da λ e non dai singoli valori μ_i.

Sullo spazio euclideo di dimensione k, infatti, si possono considerare i vettori

${\displaystyle {\bar {X}}=(X_{1},\ \ldots ,\ X_{k})=(Y_{1},\ \ldots ,\ Y_{k})+(\mu _{1},\ldots ,\ \mu _{k})={\bar {Y}}+{\bar {\mu }}}$;

la distribuzione di probabilità del vettore normale multivariato ${\displaystyle {\bar {Y}}}$ è isotropa, ovvero invariante per isometria. In particolare la variabile aleatoria ${\displaystyle X^{2}}$, che è il quadrato della norma di ${\displaystyle {\bar {X}}={\bar {Y}}+{\bar {\mu }}}$, dipende dalle ${\displaystyle \mu _{i}}$ solo in termini della norma di ${\displaystyle (\mu _{1},...,\mu _{k})}$, ovvero ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$.

Proprietà

Somma

Per definizione, la somma di variabili aleatorie di distribuzioni χ² non centrali è ancora una variabile aleatoria di distribuzione χ² non centrale (somma dei quadrati di variabili normali ridotte).

Più precisamente, la somma di due variabili aleatorie con distribuzioni ${\displaystyle \chi ^{2}(k',\lambda ')}$ e ${\displaystyle \chi ^{2}(k'',\lambda '')}$ è una variabile aleatoria con distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k,\lambda )}$, con ${\displaystyle k=k'+k''}$ e ${\displaystyle \lambda ^{2}=\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}}$.

Mistura di distribuzioni χ²

La distribuzione χ² non centrale può essere espressa come mistura di distribuzioni χ², pesate secondo la distribuzione di Poisson.

In altri termini è la distribuzione di una variabile aleatoria Z, dipendente da una variabile aleatoria J di distribuzione di Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda /2)}$, con distribuzione condizionata di Z rispetto a J data da ${\displaystyle \chi ^{2}(k+2J)}$.

In particolare di χ²(k,λ) si possono descrivere

la densità di probabilità ${\displaystyle f_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{j}}{j!}}f_{k+2j,0}(x),}$

e la funzione di ripartizione ${\displaystyle F_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}F_{k+2j,0}}$

tramite la densità di probabilità ${\displaystyle f_{k+2j,0}}$ e la funzione di ripartizione ${\displaystyle F_{k+2j,0}}$ delle distribuzioni χ²(k+2j).

Caratteristiche

La funzione generatrice dei momenti della distribuzione χ²(k,λ) non centrale è

${\displaystyle g(t)=E[e^{t}Z]={\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}}$

I primi momenti semplici della distribuzione sono

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )}$

e i suoi primi momenti centrali sono

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )}$

La funzione caratteristica di χ²(k,λ) è ^[1]

${\displaystyle \phi (t)={\frac {e^{it\lambda /(1-i2t)}}{(1-i2t)^{k/2}}}}$.

Formule alternative

Densità di probabilità

La densità di probabilità ${\displaystyle f_{k,\lambda }}$ della distribuzione χ²(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule.

Una formula alternativa è

${\displaystyle f_{k,\lambda }={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

dove

${\displaystyle I_{a}(y):=(y/2)^{a}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (a+j+1)}}}$

è una funzione di Bessel del primo tipo, modificata.

Una terza formula è ^[2]

${\displaystyle f(x)=e^{-{\frac {\lambda }{2}}}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {({\frac {\lambda }{2}})^{r}\ e^{-{\frac {x}{2}}}\ x^{{\frac {n}{2}}+r-1}}{2^{{\frac {n}{2}}+r}\ r!\ \Gamma ({\frac {n}{2}}+r)}}={\frac {e^{-{\frac {x+\lambda }{2}}}}{x}}({\frac {x}{2}})^{\frac {n}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {({\frac {\lambda }{2}})^{r}\ x^{r}}{2^{r}\ r!\ \Gamma ({\frac {n}{2}}+r)}}}$ per ${\displaystyle x>0}$

Funzione di ripartizione

Anche la funzione di ripartizione ${\displaystyle F_{k,\lambda }}$ della distribuzione χ²(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule. In particolare in statistica sono stati proposti alcuni metodi per cercare di calcolarne alcuni valori ${\displaystyle F_{k,\lambda }(x_{0})}$.

Una formula ricorsiva, basata sulla funzione di ripartizione della distribuzione χ² (centrale) è ^[3]

${\displaystyle \textstyle F_{k,\lambda }(x)=F_{{\frac {n}{2}},0}(x)+\sum _{r>0}P_{r}({\frac {x}{2}})\ }$

dove

${\displaystyle \textstyle P_{0}(x)=0\qquad P_{1}(x)={\frac {\lambda }{2}}{\frac {e^{-x}x^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}}}$

${\displaystyle \textstyle P_{r}(x)={\frac {\lambda ^{2}}{4}}{\frac {2(r-2)}{r(r-1)(n/2+r-1)}}P_{r-2}(x)-{\frac {\lambda }{2}}{\frac {n/2+2r-3-x}{r(n/2+r-1)}}P_{r-1}(x)}$

Valori approssimati si possono invece ottenere tramite la distribuzione Gamma e i primi due^[4] o tre^[5] momenti, oppure tramite la distribuzione normale.^[6]

Distribuzioni non centrali

Utilizzando la distribuzione χ² non centrale come generalizzazione della distribuzione χ² (centrale) è possibile definire versioni non centrali delle distribuzioni t di Student, F di Fisher-Snedecor e Beta.