Equazione di Hill (matematica)

In matematica, l'equazione di Hill è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, introdotta da George William Hill nel 1886, che ha la forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0}$

dove ${\displaystyle f(t)}$ è una funzione periodica.^[1]

Se il periodo è ${\displaystyle \pi }$ l'equazione si può riscrivere utilizzando la serie di Fourier di ${\displaystyle f(t)}$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0}$

Vi sono importanti casi particolari di questa equazione; in particolare l'equazione differenziale di Mathieu, l'equazione di Meissner e l''equazione differenziale di Whittaker-Hill:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+[A+B\cos(2x)+C\cos(4x)]y=0}$

A seconda del comportamento di ${\displaystyle f(t)}$ le soluzioni dell'equazione di Hill possono essere limitate oppure crescere esponenzialmente,^[2] ciò rende l'equazione particolarmente significativa nello studio delle equazioni differenziali periodiche. La forma precisa delle soluzioni è descritta dalla teoria di Floquet.