Equazione trinomia

Le equazioni trinomie sono quelle riconducibili alla forma^[1]:

${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0,}$

dove ${\displaystyle n}$ è un intero positivo, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ sono numeri reali (oppure complessi) e ${\displaystyle a\neq 0}$.

Descrizione

Parametrizzando come segue:

${\displaystyle x^{n}=y,}$

si può riscrivere l'equazione in termini di ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle ay^{2}+by+c=0.}$

Risolvendo quest'equazione quadratica (detta equazione risolvente o ausiliaria) e sostituendo nella relazione precedente è possibile trovare facilmente le soluzioni cercate.

1. Caso in cui ${\displaystyle n}$ è pari.

• Se la risolvente ammette due soluzioni positive distinte ${\displaystyle y_{1}}$ e ${\displaystyle y_{2},}$ allora l'equazione trinomia ammette le quattro soluzioni reali ${\displaystyle \pm {\sqrt[{n}]{y_{1}}}}$ e ${\displaystyle \pm {\sqrt[{n}]{y_{2}}}}$ (che si riducono a tre se una soluzione della risolvente è nulla).

• Se la risolvente ammette due soluzioni discordi, l'equazione trinomia ammette due soluzioni reali, corrispondenti alle due radici n-esime reali della soluzione positiva.

• Se la risolvente ammette una soluzione reale ${\displaystyle y_{1},}$ allora la trinomia ammette due soluzioni se ${\displaystyle y_{1}>0,}$ una se ${\displaystyle y_{1}=0,}$ nessuna se ${\displaystyle y_{1}<0.}$

• Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.

2. Caso in cui ${\displaystyle n}$ è dispari.

• Se la risolvente ammette due soluzioni distinte ${\displaystyle y_{1}}$ e ${\displaystyle y_{2},}$ allora l'equazione trinomia ammette le due soluzioni reali ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{y_{1}}}}$ e ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{y_{2}}}}$.

• Se la risolvente ammette una soluzione reale ${\displaystyle y_{1},}$ allora la trinomia ammette la soluzione ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{y_{1}}}.}$

• Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.

Soluzioni complesse

Nel campo dei numeri complessi se ${\displaystyle z_{1}}$ e ${\displaystyle z_{2}}$ sono le due soluzioni della risolvente, allora le ${\displaystyle 2n}$ soluzioni sono date da^[2]:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z_{1}}}e^{\frac {2\pi k}{n}},\qquad {\text{con }}k=0,1,\ldots ,n-1,}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z_{2}}}e^{\frac {2\pi k}{n}},\qquad {\text{con }}k=0,1,\ldots ,n-1.}$