Estensione normale

In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione normale è un'estensione di campi algebrica ${\displaystyle F\subseteq E}$ tale che ogni polinomio irriducibile nell'anello dei polinomi ${\displaystyle F[x]}$ che ha una radice in ${\displaystyle E}$ si spezza completamente in ${\displaystyle E[x]}$

Definizioni equivalenti

Vi sono molte caratterizzazioni equivalenti delle estensioni normali. Se infatti ${\displaystyle F\subseteq E}$ è un'estensione di campi, allora sono equivalenti:

• ${\displaystyle F\subseteq E}$ è un'estensione normale;
• se ${\displaystyle \alpha \in E}$, allora tutte le radici del polinomio minimo di ${\displaystyle \alpha }$ su ${\displaystyle F}$ sono in ${\displaystyle E}$;
• ogni automorfismo di una chiusura algebrica di ${\displaystyle E}$ che fissa ${\displaystyle F}$ è un automorfismo di ${\displaystyle E}$;
• ${\displaystyle E}$ è il campo di spezzamento su ${\displaystyle F}$ di una famiglia di polinomi di ${\displaystyle F[x]}$.

Quando l'estensione ${\displaystyle F\subseteq E}$ è anche finita, allora l'ultima di queste equivalenze può essere semplificata richiedendo che ${\displaystyle E}$ sia il campo di spezzamento di un singolo polinomio di ${\displaystyle F[x]}$.

Esempi

• Il campo ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ è un'estensione normale di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ,in quanto esso è il campo di spezzamento di ${\displaystyle x^{2}-2}$. Più in generale, qualsiasi estensione di grado 2 è normale.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ non è un'estensione normale di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$: infatti, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ha come polinomio minimo ${\displaystyle x^{3}-2}$, le cui altre due radici non sono reali, e quindi non possono essere contenute dentro ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ (che è contenuto in ${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Se ${\displaystyle E}$ è la chiusura algebrica di ${\displaystyle F}$, allora ${\displaystyle F\subseteq E}$ è normale, in quanto ogni polinomio di ${\displaystyle F[x]}$ si decompone linearmente in ${\displaystyle E[x]}$.

Proprietà

• Per definizione, un'estensione ${\displaystyle F\subseteq E}$ è di Galois se e solo se è normale e separabile.
• Se ${\displaystyle F\subseteq E}$ è un'estensione normale, e ${\displaystyle F\subseteq L\subseteq E}$, allora anche ${\displaystyle L\subseteq E}$ è normale. In generale, invece, l'estensione ${\displaystyle F\subseteq L}$ non è normale.
• Se ${\displaystyle F\subseteq E_{1}}$ e ${\displaystyle F\subseteq E_{2}}$ sono estensioni normali, allora anche ${\displaystyle F\subseteq E_{1}\cap E_{2}}$ e ${\displaystyle F\subseteq E_{1}E_{2}}$ (dove ${\displaystyle E_{1}E_{2}}$ è il campo generato da ${\displaystyle E_{1}}$ ed ${\displaystyle E_{2}}$) sono normali. Lo stesso avviene per una quantità infinita di estensioni normali.

Chiusura normale

Se ${\displaystyle F\subseteq E}$ è un'estensione algebrica, esiste sempre un'estensione ${\displaystyle G}$ di ${\displaystyle E}$ che è la più piccola estensione normale di ${\displaystyle F}$ contenente ${\displaystyle E}$; essa è chiamata la chiusura normale di ${\displaystyle E}$ su ${\displaystyle F}$, ed è unica a meno di isomorfismi.

Se ${\displaystyle E=F(S)}$ (cioè se ${\displaystyle E}$ è generato su ${\displaystyle F}$ da un insieme ${\displaystyle S}$), allora la chiusura normale di ${\displaystyle E}$ su ${\displaystyle F}$ è generata dalle radici dei polinomi minimi su ${\displaystyle F}$ degli elementi di ${\displaystyle S}$: ad esempio, la chiusura normale di ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ è uguale a ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega {\sqrt[{3}]{2}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}$, dove ${\displaystyle \omega }$ è una radice primitiva terza dell'unità.

In particolare, se ${\displaystyle F\subseteq E}$ è un'estensione finita anche la chiusura normale di ${\displaystyle E}$ su ${\displaystyle F}$ è un'estensione finita di ${\displaystyle F}$.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Normal Extension, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Estensione normale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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