Funzione implicita

In matematica, una funzione implicita è una funzione definita attraverso un'equazione implicita, ovvero da una relazione della forma ${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n})=0}$, dove ${\displaystyle R}$ è una funzione di diverse variabili (spesso si tratta di un polinomio). Ad esempio, l'equazione implicita della circonferenza unitaria è ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$.

Le funzioni implicite associano una variabile dell'equazione alle altre variabili, e in questo modo l'equazione definisce "implicitamente" la funzione implicita. Per esempio la funzione implicita per la circonferenza unitaria è caratterizzata con:

${\displaystyle x^{2}+[f(x)]^{2}-1=0}$

che definisce ${\displaystyle f}$ come una funzione di ${\displaystyle x}$ se e solo se ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ e si considerano soltanto valori della funzione positivi (o soltanto negativi). Un altro classico esempio di funzione implicita è la funzione inversa, data dall'equazione ${\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0}$, che ha per soluzione:

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

Il teorema delle funzioni implicite fornisce le condizioni per cui un'equazione definisce una funzione implicita.

Esempi

Prendiamo come altro esempio la sfera definita in ${\displaystyle R^{3}}$. La sua equazione in forma parametrica sarà:

${\displaystyle {\begin{cases}x=R\;sin\phi \;cos\theta \\y=R\;sin\phi \;sin\theta \\z=R\;cos\phi \end{cases}}}$

Possiamo notare che la parametrizzazione, pur essendo di una sfera nello spazio di 3 variabili, sia dipendente soltanto da 2 parametri (${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \phi }$).

Analogamente, la sua forma implicita sarà definita dalla seguente equazione:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0}$

quindi, tramite un'equazione in 3 variabili.

Bibliografia

• (EN) Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third, McGraw-Hill, 1984.
• (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X.
• (EN) Michael Spivak, Calculus on Manifolds, HarperCollins, 1965, ISBN 0-8053-9021-9.
• (EN) Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983, ISBN 0-387-90894-3.
• (EN) James Stewart, Calculus Concepts And Contexts, Brooks/Cole Publishing Company, 1998, ISBN 0-534-34330-9.

Voci correlate

• Teorema delle funzioni implicite

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Implicit Function, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Funzione implicita, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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