Gruppo quoziente

In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo e un suo sottogruppo normale.

Definizione

Premessa

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo, e ${\displaystyle H}$ un suo sottogruppo normale. Si può introdurre la relazione di equivalenza su ${\displaystyle G}$ definita, per ogni ${\displaystyle g,g'}$ appartenenti a ${\displaystyle G}$, da^[1]

${\displaystyle g\sim g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{\prime }g^{-1}\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=hg,\quad h\in H}$.

Si indica con ${\displaystyle [g]}$ la classe d'equivalenza

${\displaystyle [g]=\{hg\mid h\in H\}=Hg}$

per ogni ${\displaystyle g}$ appartenente a ${\displaystyle G}$ (laterale destro di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$). In modo analogo è possibile definire la classe

${\displaystyle [g]^{*}=\{gh\mid h\in H\}=gH}$

(laterale sinistro), definita dalla relazione:

${\displaystyle g\sim ^{*}g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{-1}g^{\prime }\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=gh,\quad h\in H}$.

Poiché ${\displaystyle H}$ è normale, ${\displaystyle [g]=[g]^{*}}$, cioè i laterali coincidono.

Gruppo quoziente

Si definisce gruppo quoziente ${\displaystyle G/H}$ l'insieme

${\displaystyle G/H=\{[g]\mid g\in G\}}$

delle classi d'equivalenza; la classe ${\displaystyle [g]}$ è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di ${\displaystyle G}$, sicché

${\displaystyle g\not \sim g^{\prime }\Rightarrow [g]\cap [g^{\prime }]=\varnothing }$

e

${\displaystyle \bigsqcup _{g\in G}[g]=G}$.

L'insieme ${\displaystyle G/H}$ può anche essere visto come l'insieme dei laterali di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$.

Struttura di gruppo

L'insieme ${\displaystyle G/H}$ è ben definito per ogni tipo di sottogruppo; se però ${\displaystyle H}$ è normale (come è stato assunto), si può munire ${\displaystyle G/H}$ di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in ${\displaystyle G}$; si definisce infatti il seguente prodotto:

${\displaystyle *:G/H\times G/H\to G/H}$

${\displaystyle gH*g^{\prime }H:=gg^{\prime }H}$

ossia ${\displaystyle \quad [g]*[g^{\prime }]:=[gg^{\prime }]}$.

Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:

• se ${\displaystyle a\sim a^{\prime }}$ e ${\displaystyle b\sim b^{\prime }}$ (cioè se ${\displaystyle a^{\prime }=ah}$ e ${\displaystyle b^{\prime }=bk}$, con ${\displaystyle h,k\in H}$), allora ${\displaystyle (ab)^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}a^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}hbk}$, che appartiene a ${\displaystyle H}$ perché questo è normale; di conseguenza, ${\displaystyle ab\sim a^{\prime }b^{\prime }}$, e il prodotto è ben definito;
• l'elemento unità di ${\displaystyle G/H}$ è proprio ${\displaystyle [1]}$ (dove ${\displaystyle 1}$ è l'elemento unità di ${\displaystyle G}$), in quanto, per ogni ${\displaystyle g\in G}$, si ha ${\displaystyle gH*1H=(g1)H=gH}$.
• vale la relazione ${\displaystyle [g]^{-1}=[g^{-1}]}$, perché ${\displaystyle gH*g^{-1}H=(gg^{-1})H=1H}$ (cioè ${\displaystyle g^{-1}H}$ è l'inverso di ${\displaystyle gH}$).

Pertanto, ${\displaystyle (G/H,*)}$ è un gruppo.

Proiezione

Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:

${\displaystyle \pi :G\to G/H}$

${\displaystyle g\to [g]}$.

Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi, cioè

${\displaystyle \pi (gg^{\prime })=\pi (g)*\pi (g^{\prime })}$

per ogni ${\displaystyle g,g^{\prime }}$ appartenenti a ${\displaystyle G}$. L'applicazione è anche evidentemente suriettiva, dato che, per ogni ${\displaystyle [g]}$, si ha

${\displaystyle \pi ^{-1}([g])\ni g}$.

Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme ${\displaystyle H}$, dato che^[2]

${\displaystyle g\in \operatorname {Ker} (\pi )\Leftrightarrow \pi (g)=[1]\Leftrightarrow gH=1H\Leftrightarrow g=1h,h\in H\Leftrightarrow g\in H}$