Funzione iniettiva

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

Un esempio di funzione iniettiva: non esiste alcun elemento di Y che sia puntato da più di un elemento di X

Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C

In altre parole: una funzione da un insieme ${\displaystyle X}$ a un insieme ${\displaystyle Y}$ è iniettiva se ogni elemento di ${\displaystyle Y}$ non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di ${\displaystyle X}$.

Definizione

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia ${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}}$ implica ${\displaystyle f(a_{1})\neq f(a_{2})}$; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$ implica ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$.

Simbolicamente:^[1][2]

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;f(x)=f(y)\Rightarrow x=y}$

oppure, nella forma contronominale:^[3]

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).}$

Proprietà

Grafico

Questo è il grafico di una funzione reale di variabile reale non iniettiva; c'è quindi una retta parallela all'asse x che lo interseca in più di un punto

Se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine ${\displaystyle {\text{Im}}(f)=f(X)=\{f(a)\mid a\in X\}}$ è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico ${\displaystyle \Gamma (f)=\{(a,b)\in X\times Y\mid f(a)=b\}}$ sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se ${\displaystyle f}$ è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle ${\displaystyle x}$ intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).^[4]

Viceversa, se ${\displaystyle f}$ è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})=b}$. Dunque la retta ${\displaystyle y=b}$ interseca il grafico ${\displaystyle \Gamma (f)}$ in almeno due punti: ${\displaystyle (a_{1},b)}$ e ${\displaystyle (a_{2},b)}$.

Omomorfismi

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.^[5][6]

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.^[7] Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

Invertibilità

La funzione esponenziale, definita da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ alla sola immagine ${\displaystyle \exp(\mathbb {R} )=]0,\infty [}$ è invertibile, con inversa la funzione logaritmo ${\displaystyle \log(x)}$La funzione logaritmo ${\displaystyle \log(x)}$ è l'inversa della funzione esponenziale ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$, se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo ${\displaystyle (0,+\infty )}$

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to f(X)}$, invertibile.

Una funzione invertibile ${\displaystyle f}$ è iniettiva, ed anche la sua inversa ${\displaystyle f^{-1}}$, essendo invertibile, è iniettiva.

Composizione

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})\Rightarrow g(f(a_{1}))\neq g(f(a_{2}))}$

Se la funzione composta ${\displaystyle g\circ f}$ è iniettiva, allora ${\displaystyle f}$ è iniettiva, ma non è detto che ${\displaystyle g}$ lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva ${\displaystyle g\circ f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to ({e^{x}})^{2}}$ è composizione di una funzione iniettiva ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to e^{x}}$ e di una funzione non iniettiva ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to x^{2}}$.

Se esistono due funzioni distinte ${\displaystyle g,h\colon C\to A}$ tali che ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$, allora ${\displaystyle f}$ non è iniettiva: infatti esiste un ${\displaystyle c\in C}$ con ${\displaystyle g(c)\neq h(c)}$, ma ${\displaystyle f(g(c))=f(h(c))}$.

Cardinalità

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettive

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito ${\displaystyle A}$ con ${\displaystyle n}$ elementi ad un insieme finito ${\displaystyle B}$ con ${\displaystyle m}$ elementi è pari al numero di disposizioni semplici di ${\displaystyle m}$ elementi, presi ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\frac {m!}{(m-n)!}}}$.

Altre proprietà

• Se ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ è iniettiva, e ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono sottinsiemi di A, allora ${\displaystyle f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)}$.

• Ogni funzione ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ può essere scomposta come composizione ${\displaystyle f=h\circ g}$ di una funzione suriettiva ${\displaystyle g\colon A\to f(A)}$ e di una funzione iniettiva ${\displaystyle h\colon f(A)\to B}$, definendo ${\displaystyle g(a)=f(a)}$ e ${\displaystyle h(b)=b}$.

Ulteriori caratterizzazioni dell'iniettività

Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.

• Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione ${\displaystyle g:B\rightarrow A}$ tale che ${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{A}.}$
• Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme ${\displaystyle T}$ e per ogni funzione ${\displaystyle g:T\rightarrow A,}$ e ${\displaystyle h:T\rightarrow A,}$ tali che ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ si ha ${\displaystyle g=h.}$
• Identità della controimmagine dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni ${\displaystyle S\subseteq A,}$ si ha ${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$

Esempi

• Su ogni insieme ${\displaystyle X}$ la funzione identità ${\displaystyle id_{X}\colon X\to X\colon x\mapsto x}$ è iniettiva (e suriettiva).
• L'inclusione ${\displaystyle \imath \colon Y\hookrightarrow X}$ di un sottoinsieme ${\displaystyle Y\subset X}$ in ${\displaystyle X}$, essendo restrizione dell'identità ${\displaystyle id_{X}}$, è iniettiva.
• Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, ${\displaystyle f\colon \{x\}\to Y}$, è iniettiva.
• Una funzione definita sull'insieme vuoto, ${\displaystyle f\colon \emptyset \to Y}$, è iniettiva.
• Una funzione costante, ${\displaystyle f_{y}\colon X\to Y\colon x\mapsto y}$, definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
• Per ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle a\neq 0}$, la funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto ax+b}$ è iniettiva (e suriettiva).
• La funzione esponenziale ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ non è iniettiva.
• La funzione esponenziale ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ è iniettiva.
• La funzione logaritmo, ${\displaystyle \log \colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} }$, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, ${\displaystyle f\in D^{1}(\mathbb {R} )}$, la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, ${\displaystyle f\in D^{1}(\mathbb {R} )}$, la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
• La funzione quadrato ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \colon x\mapsto x^{2}}$ è iniettiva.
• La funzione quadrato ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{2}}$ non è iniettiva.
• La funzione cubo ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{3}}$ è iniettiva.
• La funzione cubo ${\displaystyle f\colon \mathbb {F} _{7}\to \mathbb {F} _{7}\colon x\mapsto x^{3}}$ non è iniettiva.
• Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.