Insieme denso

In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.^[1]

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Definizione

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico. Un sottoinsieme ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle X}$ è denso in ${\displaystyle X}$ se l'unico sottoinsieme chiuso di ${\displaystyle X}$ contenente ${\displaystyle A}$ è ${\displaystyle X}$ stesso, ovvero la chiusura di ${\displaystyle A}$ è ${\displaystyle X}$.

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. ${\displaystyle A}$ è denso in ${\displaystyle X}$ se e solo se:

• Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di ${\displaystyle X}$ interseca ${\displaystyle A}$.
• Il complementare di ${\displaystyle A}$ ha parte interna vuota.
• Ogni punto di ${\displaystyle X}$ o appartiene ad ${\displaystyle A}$ o è un punto di accumulazione per ${\displaystyle A}$.

Esempi

• Ogni spazio topologico ${\displaystyle S}$ è denso in sé stesso; tutti gli altri chiusi di ${\displaystyle S}$ e tutti i sottoinsiemi di essi non sono densi in ${\displaystyle S}$.
• Lo spazio dei numeri reali con l'usuale topologia euclidea ha gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri irrazionali, dei numeri algebrici, dei numeri trascendenti e il complementare dell'insieme di Cantor come sottoinsiemi densi.
• Se ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C}$ e ${\displaystyle A}$ è denso in ${\displaystyle C}$, allora anche ${\displaystyle B}$ è denso in ${\displaystyle C}$.
• Se un sottoinsieme è denso in una topologia, allora è denso anche in ogni topologia meno fine.
• Il complementare di un insieme mai denso è denso.
• Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo.
• Teorema di approssimazione di Weierstrass: i polinomi sono densi nell'insieme ${\displaystyle C[a,b]}$ delle funzioni continue sull'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, dotato della distanza

${\displaystyle d_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|}$

• Uno spazio metrico ${\displaystyle M}$ è denso nel suo completamento ${\displaystyle \gamma M}$