Integrale di volume

In matematica, in particolare nel calcolo in più variabili, un integrale di volume è l'integrale di superficie della funzione costante ${\displaystyle f=1}$, e fornisce il volume della superficie considerata.

Definizione

Si definisce elemento di volume in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ la k-forma:

${\displaystyle d\mathbf {V} =dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}}$

Sia ${\displaystyle S}$ una k-superficie positivamente orientata in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ e ${\displaystyle f=1}$ la funzione costante definita sull'immagine di ${\displaystyle S}$. Allora:

${\displaystyle \int _{S}f(\mathbf {x} )dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}=\int _{S}fd\mathbf {V} _{k}}$

Sia ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{k}}$ il dominio di parametrizzazione di ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle S:D\to \mathbb {R} ^{k}}$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana ${\displaystyle J_{S}}$ positiva. Allora il volume della superficie è dato da:^[1]

${\displaystyle \int _{S}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}=\int _{S}J_{S}(\mathbf {u} )d\mathbf {u} =\int _{S(D)}d\mathbf {x} }$

Volume in tre dimensioni

L'integrale di volume è un integrale triplo della funzione costante 1, che restituisce il volume della regione ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$, cioè:

${\displaystyle \operatorname {Vol} (D)=\iiint \limits _{D}dx\,dy\,dz}$

Con "integrale di volume" si identifica anche l'integrale triplo calcolato nella regione ${\displaystyle D}$ di una funzione ${\displaystyle f(x,y,z),}$ ed è generalmente scritto:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

Un integrale di volume in coordinate cilindriche è:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\theta ,z)\,r\,dr\,d\theta \,dz,}$

mentre un integrale di volume in coordinate sferiche ha la forma:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\theta ,\phi )\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi }$

Esempio

Integrando la funzione ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$ su un cubo di spigolo unitario si ottiene il seguente risultato:

${\displaystyle \iiint \limits _{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1}1\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1}(1-0)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}(1-0)dz=1-0=1}$

Quindi il volume del cubo unitario è 1 come previsto. In realtà, l'integrale di volume permette di risolvere problemi molto più complessi. Per esempio se abbiamo una funzione scalare ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ che descrive la densità del cubo in un punto assegnato ${\displaystyle (x,y,z)}$ da ${\displaystyle f=x+y+z}$ si può calcolare la massa totale del cubo calcolando l'integrale di volume:

${\displaystyle \iiint \limits _{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1}\left(x+y+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}\left(1+z\right)\,dz={\frac {3}{2}}}$