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Integrazione per parti
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In matematica, il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali. Se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della derivata di una funzione e della primitiva dell'altra.
Il metodo
Riepilogo
Prospettiva
Siano e due funzioni continue e derivabili in . La derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:[1]
Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene:
(Attenzione: abbiamo tacitamente supposto che gli integrali al secondo membro dell'equazione esistano).
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:[2]
quindi per risolvere un integrale possiamo sfruttarla nella seguente forma:
La forza di questo metodo risiede nella capacità di individuare, fra le due funzioni e , quella più facilmente derivabile/integrabile in maniera da poterla utilizzare per eliminare la difficoltà di integrazione insorta. La funzione è detto fattore differenziale, mentre è chiamato fattore finito.[3]
Volendo applicare il procedimento appena eseguito su un intervallo di integrazione si ottiene:
cioè:
Esempi
- Vogliamo svolgere per parti:
Poniamo e nell'espressione:
ottenendo:
- Vogliamo risolvere per parti:
Poniamo e nell'espressione, come in precedenza:
cioè:
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Formule ricorsive di integrazione
Riepilogo
Prospettiva
Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo. Ad esempio:
Usando il metodo di integrazione per parti:
Dunque:
quindi abbiamo ottenuto che:
A questo punto possiamo calcolare tutti gli integrali di questo tipo:
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Più dimensioni
Riepilogo
Prospettiva
La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n-dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale.[4]
Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di con un bordo ∂Ω. Se u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è:
dove è la normale alla superficie unitaria uscente da ∂Ω, νi è la sua i-esima componente, con i che va da 1 a n. Sostituendo v nella formula precedente con vi e sommando su i si ottiene la formula vettoriale:
dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti vi.
Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza. Con dove , si ottiene:
che è la prima identità di Green.
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Note
Bibliografia
Voci correlate
Collegamenti esterni
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