Integrazione per parti

In matematica, il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali. Se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della derivata di una funzione e della primitiva dell'altra.

Il metodo

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni continue e derivabili in ${\displaystyle x}$. La derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:^[1]

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]={\frac {{\text{d}}f(x)}{{\text{d}}x}}g(x)+f(x){\frac {{\text{d}}g(x)}{{\text{d}}x}}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}$

Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene:

${\displaystyle \int {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}$

(Attenzione: abbiamo tacitamente supposto che gli integrali al secondo membro dell'equazione esistano).

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:^[2]

${\displaystyle f(x)g(x)=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}$

quindi per risolvere un integrale possiamo sfruttarla nella seguente forma:

${\displaystyle \int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}$

La forza di questo metodo risiede nella capacità di individuare, fra le due funzioni ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$, quella più facilmente derivabile/integrabile in maniera da poterla utilizzare per eliminare la difficoltà di integrazione insorta. La funzione ${\displaystyle f^{\prime }(x){\text{d}}x={\text{d}}f(x)}$ è detto fattore differenziale, mentre ${\displaystyle g(x)}$ è chiamato fattore finito.^[3]

Volendo applicare il procedimento appena eseguito su un intervallo di integrazione ${\displaystyle (a,b)}$ si ottiene:

${\displaystyle \left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}=\int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}$

cioè:

${\displaystyle \int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=\left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}$

Esempi

• Vogliamo svolgere per parti:

${\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x}$

Poniamo ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ e ${\displaystyle g^{\prime }(x)=\cos(x)}$ nell'espressione:

${\displaystyle \int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x}$

ottenendo:

${\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin(x)\sin(x)-\int [\cos(x)\sin(x)]{\text{d}}x}$

${\displaystyle 2\int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin ^{2}(x)}$

${\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x={\frac {\sin ^{2}(x)}{2}}+C}$

• Vogliamo risolvere per parti:

${\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x}$

Poniamo ${\displaystyle f(x)=x}$ e ${\displaystyle g^{\prime }(x)=e^{x}}$ nell'espressione, come in precedenza:

${\displaystyle \int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x}$

cioè:

${\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=xe^{x}-\int e^{x}{\text{d}}x}$

${\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=xe^{x}-e^{x}+C}$

${\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=e^{x}(x-1)+C}$

Formule ricorsive di integrazione

Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo. Ad esempio:

${\displaystyle I_{1}=\int \sin ^{2}x\,dx.}$

Usando il metodo di integrazione per parti:

${\displaystyle \int \sin(x)\cdot \sin(x)\,dx=\int \sin(x)\cdot (-\cos(x))'\,dx=}$

${\displaystyle =-\sin(x)\cos(x)+\int \cos ^{2}(x)\,dx=-\sin(x)\cdot \cos(x)+\int (1-\sin ^{2}(x))\,dx.}$

Dunque:

${\displaystyle I_{1}=x-\sin(x)\cdot \cos(x)-\int \sin ^{2}(x)\,dx=x-\sin(x)\cdot \cos(x)-I_{1},}$

quindi abbiamo ottenuto che:

${\displaystyle I_{1}=\int \sin ^{2}(x)dx={\frac {1}{2}}\left(x-\sin(x)\cdot \cos(x)\right)+C.}$

A questo punto possiamo calcolare tutti gli ${\displaystyle I_{n+1}}$ integrali di questo tipo:

${\displaystyle I_{n+1}=\int \sin ^{2n+1}(x)\sin(x)\,dx=\int \sin ^{2n+1}(x)\cdot (-\cos(x))'\,dx=}$

${\displaystyle =-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)+(2n+1)\int \sin ^{2n}(x)\cdot \cos ^{2}(x)\,dx=-\sin ^{2n+1}(x)\cos x+(2n+1)\int \sin ^{2n}(x)(1-\sin ^{2}x)\,dx}$

${\displaystyle I_{n+1}={\frac {1}{2n+2}}\left[(2n+1)I_{n}-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)\right]+C.}$

Più dimensioni

La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n-dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale.^[4]

Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con un bordo ∂Ω. Se u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è:

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uv\,\nu _{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx}$

dove ${\displaystyle \nu }$ è la normale alla superficie unitaria uscente da ∂Ω, ν_i è la sua i-esima componente, con i che va da 1 a n. Sostituendo v nella formula precedente con v_i e sommando su i si ottiene la formula vettoriale:

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {v} \,dx=\int _{\partial \Omega }u\,\mathbf {v} \cdot \nu \,d\sigma -\int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {v} \,dx}$

dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti v_i.

Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza. Con ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla v}$ dove ${\displaystyle v\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$, si ottiene:

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\partial \Omega }u\,\nabla v\cdot \nu \,d\sigma -\int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx}$

che è la prima identità di Green.