Legge di Stefan-Boltzmann

La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata anche legge di Boltzmann o legge di Stefan, dai due fisici austriaci Ludwig Boltzmann e Josef Stefan, è una equazione di stato per la radiazione elettromagnetica^[1] che stabilisce che l'emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura assoluta (espressa in kelvin):

${\displaystyle u=\sigma \,T^{4}}$

dove:

• ${\displaystyle u}$ è l'emittanza termica o energia interna specifica della radiazione,
• ${\displaystyle T}$ la temperatura assoluta
• ${\displaystyle \sigma }$ è la costante di Stefan-Boltzmann.

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

La legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali:

${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}} }$.

Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo derivazione quantistica.

Derivazione termodinamica

La legge può essere dedotta a partire dal primo principio della termodinamica e dalla relazione della pressione di radiazione, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann.

Dal primo principio della termodinamica nella forma:

${\displaystyle ~{\rm {d}}U=T~{\rm {d}}S-p~{\rm {d}}V}$

derivando rispetto al volume, a temperatura costante:

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}}$

ovvero, introducendo le grandezze specifiche:

${\displaystyle (u)_{T}=T(s)_{T}-p}$

per le relazioni di Maxwell l'entropia specifica a temperatura costante:

${\displaystyle (s)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}$

Introducendo poi la relazione lineare della pressione di radiazione:

${\displaystyle p(u)={\frac {1}{3}}u}$

si ottiene un'equazione differenziale ordinaria non lineare omogenea per l'energia interna specifica nella temperatura:

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}T{\frac {\partial u}{\partial T}}-{\frac {1}{3}}u}$

che corrisponde all'equazione di Clairaut omogenea:

${\displaystyle u={\frac {T}{4}}{\frac {\partial u}{\partial T}}}$

Integrando l'equazione differenziale si ottiene:

${\displaystyle u=\sigma ~T^{4}}$

essendo ${\displaystyle \sigma }$ una costante d'integrazione, che può essere ricavata sperimentalmente o dedotta da altre considerazioni teoriche di natura quantistica.

Relazione fondamentale

La continuità, differenziabilità e monotonicità dell’entropia implicano che la funzione di stato energia interna:

${\displaystyle U=U(S,V)\,}$

può essere invertita rispetto all'entropia:

${\displaystyle S=S(U,V)\,}$

La funzione entropia così ottenuta è continua e differenziabile nei suoi argomenti. Questa relazione è nota come relazione fondamentale: nota questa, tutta l'informazione termodinamica sul sistema è nota e qualunque proprietà termodinamica è da essa deducibile. La forma differenziale della relazione fondamentale è chiamata equazione di Gibbs.

Dal primo principio della termodinamica + secondo principio per sistemi in equilibrio termodinamico segue l'equazione di Gibbs:

${\displaystyle dS={\frac {1}{T}}dU+{\frac {p}{T}}dV}$

In generale per le variabili di stato (coordinate generalizzate):${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{i}\}}$ l'equazione di Gibbs è:

${\displaystyle dS=\nabla S\cdot \mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\sum _{i}F_{i}dx_{i}}$

dove le forze generalizzate sono:

${\displaystyle F_{i}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}}$

mentre le relazioni ${\displaystyle F_{i}=F_{i}(\{x_{j}\})}$ sono le equazioni di stato del sistema. Nel caso di cui sopra le forze generalizzate sono:

${\displaystyle {\begin{cases}F_{U}=\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V,\{N_{i}\}}={\frac {1}{T}}\\F_{V}=\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U,\{N_{i}\}}={\frac {p}{T}}\end{cases}}}$

Talvolta conviene considerare invece i momenti coniugati ${\displaystyle \mathbf {p} =\{p_{i}\}}$ definiti da:

${\displaystyle p_{i}={\frac {F_{i}}{T}}}$

La relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica, che ne caratterizza completamente le proprietà termodinamiche, è^[2]:

${\displaystyle S={\frac {4}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{\frac {1}{4}}}$

dove la costante è solo: σ

Per esso:

${\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V}=\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {1}{4}}V^{-{\frac {1}{4}}}\\\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}\end{cases}}}$

ma siccome queste sono le forze generalizzate viste sopra, si ha che:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{T}}=\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {1}{4}}V^{-{\frac {1}{4}}}\\{\frac {p}{T}}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}\end{cases}}}$

Queste sono le due equazioni di stato per la radiazione elettromagnetica. La prima relazione è la legge di Stefan-Boltzmann:

${\displaystyle U(T,V)=\sigma VT^{4}}$

ovvero per l'energia interna volumetrica della radiazione vale:

${\displaystyle u(T)={\frac {U}{V}}=\sigma T^{4}}$

quindi il calore specifico isocoro della radiazione è:

${\displaystyle c_{v}(T)={\frac {\partial u}{\partial T}}=4\sigma T^{3}}$

mentre la seconda equazione di stato è la relazione della pressione di radiazione:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}T={\frac {1}{3}}{\frac {U}{V}}={\frac {1}{3}}u}$

Quindi le due equazioni di stato della radiazione sono:

${\displaystyle {\begin{cases}u(T)=\sigma T^{4}\\p(T)={\frac {1}{3}}u(T)\end{cases}}}$

per esempio invece le equazioni di stato dei gas perfetti sono notevolmente diverse, anche se sempre dello stesso tipo:

${\displaystyle {\begin{cases}u(T)=c_{v}T\\p(T)=nT\end{cases}}}$

Derivazione quantistica

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette radiazione elettromagnetica; la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo e secondariamente dalle sue caratteristiche:

${\displaystyle q=\int _{0}^{\infty }I(\nu )~d\nu =\int _{0}^{\infty }I(\lambda )~d\lambda }$

dove:

• ${\displaystyle \nu }$ è la frequenza della radiazione elettromagnetica;
• ${\displaystyle h}$ è la costante di Planck,
• ${\displaystyle T}$ è la temperatura assoluta,
• ${\displaystyle I(\nu )d\nu }$ è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra ${\displaystyle \nu }$ e ${\displaystyle \nu +d\nu }$.

Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:

${\displaystyle I(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}}$

dove:

• ${\displaystyle h}$ è la costante di Planck
• ${\displaystyle k}$ è la costante di Boltzmann
• ${\displaystyle c}$ è la velocità della luce nel vuoto
• ${\displaystyle T}$ è la temperatura assoluta
• ${\displaystyle \lambda }$ è la lunghezza d'onda
• ${\displaystyle e}$ è il numero di Eulero

viene integrata su tutto il dominio di lunghezza d'onda:

${\displaystyle q(T)=\int _{0}^{\infty }I(\lambda ,T)\operatorname {d} \lambda ={2\pi hc^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\lambda ^{5}}{\bigl (}e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1{\bigr )}}}\operatorname {d} \lambda ={\frac {2\pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n^{4}}}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}T^{4}}$

si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:

${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}} }$.

Corpo radiante reale

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente; al contrario un corpo di un certo colore (diverso da nero) non lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" infatti riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:

${\displaystyle \operatorname {u} =\varepsilon \sigma T^{4}}$