Modello di dispersione esponenziale

Le famiglie di dispersione esponenziale sono un insieme di modelli parametrici, appartenenti a una classe più ampia, esprimibile tramite una funzione di distribuzione ascrivibile a

${\displaystyle p(y|\theta ,\phi )=\exp {\left\{{\frac {\theta y-b(\theta )}{a(\phi )}}+c(y,\phi )\right\}}}$

in cui ${\displaystyle y\in {\mathcal {S}}\subseteq \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \theta \in \Theta \subseteq \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \phi >0}$, ${\displaystyle a(\phi )>0}$. Il parametro ${\displaystyle \theta }$ è detto "parametro naturale", mentre ${\displaystyle \phi }$ è detto "parametro di dispersione". Spesso ${\displaystyle a(\phi )=\phi }$ oppure ${\displaystyle a(\phi )=\phi /w}$, con ${\displaystyle w}$ costante nota. Inoltre, per alcuni importanti modelli, come Poisson, esponenziale e Bernoulli, ${\displaystyle \phi =1}$, dunque sono parametrizzate solo da ${\displaystyle \theta }$.^[1]

Esiste anche una versione vettoriale, che si applica per risposte ${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{k}}$ multivariate, ovvero

${\displaystyle p(\mathbf {y} |{\boldsymbol {\theta }},\phi )=\exp {\left\{{\frac {{\boldsymbol {\theta }}^{T}\mathbf {y} -b({\boldsymbol {\theta }})}{a(\phi )}}+c(\mathbf {y} ,\phi )\right\}}}$

in cui ${\displaystyle \phi }$ è ancora una grandezza scalare.^[2]

La trattazione delle famiglie di dispersione esponenziale nella forma sopra specificata risulta particolarmente funzionale alle analisi di regressione e allo studio dei modelli lineari generalizzati.

Media, varianza e cumulanti di ordine superiore

Definendo la funzione generatrice dei cumulanti ${\displaystyle K_{Y}(t|\theta ,\phi )}$ come il logaritmo della funzione generatrice dei momenti ${\displaystyle M_{Y}(t|\theta ,\phi )=\mathbb {E} [e^{tY}]}$, si ottiene

${\displaystyle {\begin{array}{l}M_{Y}(t|\theta ,\phi )=\mathbb {E} [e^{tY}]=\int _{\mathcal {S}}e^{ty}p(y|\theta ,\phi )dy=\exp \left\{{\frac {b(\theta +t\cdot a(\phi ))-b(\theta )}{a(\phi )}}\right\}\\[12pt]K_{Y}(t|\theta ,\phi )=\log M_{Y}(t|\theta ,\phi )={\frac {b(\theta +t\cdot a(\phi ))-b(\theta )}{a(\phi )}}\end{array}}}$

da cui si possono ricavare i generici cumulanti di ordine ${\displaystyle r}$ derivando ${\displaystyle r}$ volte ${\displaystyle K_{Y}}$ in ${\displaystyle t=0}$, risulta pertanto

${\displaystyle \kappa _{r}(Y)=\left.{\frac {\partial ^{r}K_{Y}(t|\theta ,\phi )}{\partial t^{r}}}\right|_{t=0}=a(\phi )^{r-1}b^{(r)}(\theta )}$

dove ${\displaystyle b^{(r)}}$ denota la derivata ${\displaystyle r}$-esima di ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle r=1,2,3,\dots }$ .

A partire da questo risultato è facile ottenere le espressioni per media e varianza della variabile ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbb {E} [Y]=\kappa _{1}(Y)=b'(\theta )\\[10pt]{\text{Var}}(Y)=\kappa _{2}(Y)=a(\phi )b''(\theta )\end{array}}}$

e poiché ${\displaystyle \mathrm {Var} (Y)>0}$ e ${\displaystyle a(\phi )>0}$ consegue che ${\displaystyle b''(\theta )>0}$, vale a dire che ${\displaystyle b(\theta )}$ è una funzione convessa e ${\displaystyle b'(\theta )=\mu (\theta )=\mathbb {E} [Y]}$ è una funzione strettamente crescente, con dominio ${\displaystyle \Theta }$ e codominio lo spazio delle medie ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, dunque anche biiettiva, con inversa ${\displaystyle \theta (\mu )}$.

I cumulanti di ordine 3 e 4 danno rispettivamente una misura di asimmetria e curtosi.

Funzione di varianza

Si è visto ${\displaystyle \mathrm {Var} (Y)}$ esprimibile come funzione di ${\displaystyle \phi }$ e di ${\displaystyle \theta }$, ma poiché ${\displaystyle \theta }$ è in relazione biunivoca con ${\displaystyle \mu }$, è possibile scrivere^[1]

${\displaystyle \mathrm {Var} (Y)=a(\phi )b''(\theta )=a(\phi )v(\mu )}$

in cui ${\displaystyle v(\mu )}$ viene denominata "funzione di varianza". La funzione di varianza caratterizza, assieme ad ${\displaystyle a(\phi )}$, una precisa famiglia di dispersione esponenziale. Ad esempio solo 6 famiglie della classe DE hanno funzione di varianza al più quadratica (${\displaystyle v(\mu )=\alpha +\beta \mu +\gamma \mu ^{2}}$).^[3]

Parametrizzazione con media e funzione di varianza

Per le ragioni presentate precedentemente si può pensare di esprimere l'intera distribuzione come espressione di media ${\displaystyle \mu }$ e varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}=a(\phi )v(\mu )}$ e a tal fine introdurre una notazione compatta ${\displaystyle Y\sim DE(\mu ,a(\phi )v(\mu ))}$, con ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {M}},\ \phi >0,\ a(\phi )>0}$.^[2]

Principali famiglie di dispersione esponenziale

La classe delle famiglie di dispersione esponenziale, come visto, è in grado di racchiudere sia distribuzioni continue, che discrete. La tabella sottostante riassume i principali modelli che ne fanno parte, le loro caratteristiche e le relazioni tra i parametri tradizionali e quelli della dispersione esponenziale.

Distribuzioni continue		${\displaystyle {\mathcal {S}}}$	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle b(\theta )}$	${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle a(\phi )}$	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle v(\mu )}$
Distribuzione normale	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \theta ^{2}/2}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle 1}$
Distribuzione gamma	${\displaystyle Ga\left(\alpha ,{\frac {\alpha }{\mu }}\right)}$	${\displaystyle [0,+\infty )}$	${\displaystyle -1/\mu }$	${\displaystyle (-\infty ,0)}$	${\displaystyle -\ln(-\theta ))}$	${\displaystyle 1/\alpha }$	${\displaystyle 1/\alpha }$	${\displaystyle (0,+\infty )}$	${\displaystyle \mu ^{2}}$
Distribuzioni discrete
Distribuzione binomiale (riscalata)	${\displaystyle {\frac {1}{m}}Bi(m,\mu )}$	${\displaystyle \left\{0,{\frac {1}{m}},{\frac {2}{m}},\dots ,1\right\}}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {\mu }{1-\mu }}\right)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \ln(1+\exp(\theta ))}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1/m}$	${\displaystyle (0,1)}$	${\displaystyle \mu (1-\mu )}$
Distribuzione di Poisson	${\displaystyle Po(\mu )}$	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle \ln {\mu }}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \exp(\theta )}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$	${\displaystyle \mu }$
Distribuzione binomiale negativa (riscalata)	${\displaystyle {\frac {1}{r}}Bineg\left(r,{\frac {1}{1+\mu }}\right)}$	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle \ln \left({\frac {\mu }{1+\mu }}\right)}$	${\displaystyle (-\infty ,0)}$	${\displaystyle -\ln(1-\exp(\theta ))}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1/r}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$	${\displaystyle \mu (1+\mu )}$

rientrano nella classe anche la distribuzione normale inversa e la distribuzione di Tweedie.