Numero di Prandtl

Il numero di Prandtl (abbreviato con ${\displaystyle \mathrm {Pr} }$) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.^[1]

Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Schmidt.

Definizione matematica

È definito come:^[2]

${\displaystyle \mathrm {Pr} ={\nu \over \alpha }={\mu \,c_{p} \over \lambda }}$

dove (relativamente al fluido in esame):

• ${\displaystyle \nu }$ è la diffusività cinematica, misurata nel Sistema Internazionale (SI) in ${\displaystyle \left[\mathrm {m} ^{2}\mathrm {s} ^{-1}\right]}$;
• ${\displaystyle \alpha }$ è la diffusività termica, misurata nel SI in ${\displaystyle \left[\mathrm {m} ^{2}\mathrm {s} ^{-1}\right]}$;
• ${\displaystyle \mu }$ è la viscosità dinamica, misurata nel SI in ${\displaystyle \left[\mathrm {Pa} \,\mathrm {s} \right]=\left[\mathrm {kg} \,\mathrm {m} ^{-1}\mathrm {s} ^{-1}\right]}$;
• ${\displaystyle c_{p}}$ è la capacità termica specifica a pressione costante, misurato nel SI in: ${\displaystyle \left[\mathrm {J} \,\mathrm {kg} ^{-1}\mathrm {K} ^{-1}\right]=\left[\mathrm {m} ^{2}\,\mathrm {K} ^{-1}\mathrm {s} ^{-2}\right]}$;
• ${\displaystyle \lambda }$ è la conduttività termica, misurata nel SI in ${\displaystyle \left[\mathrm {W} \,\mathrm {m} ^{-1}\mathrm {K} ^{-1}\right]=\left[\mathrm {kg} \,\mathrm {m} \,\mathrm {K} ^{-1}\mathrm {s} ^{-3}\right]}$.

Formulazione della definizione matematica

L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} {\hat {H}}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {q} +\tau$ :\nabla \mathbf {u} +{\frac {\mathrm {D} p}{\mathrm {D} t}}} ,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\hat {H}}}{\mathrm {D} t}}}$ è la derivata materiale dell'entalpia specifica (${\displaystyle {\hat {H}}}$), misurata in ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {kg} }}={\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{3}}}\right)}$;
• ${\displaystyle \mathbf {q} }$ è la densità di corrente termica, misurata in ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}}}={\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right)}$;
• ${\displaystyle \tau$ :\nabla \mathbf {u} } è l'energia persa per dissipazione viscosa per unità di volume, misurata in ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{3}}}\right)}$;
  • ${\displaystyle \tau }$ è il tensore dello sforzo di taglio, misurato in ${\displaystyle (\mathrm {Pa} )}$;
  • ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$ è il gradiente della velocità del fluido, misurato in ${\displaystyle (\mathrm {s} ^{-1})}$;
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} p}{\mathrm {D} t}}}$ è la derivata materiale della pressione, misurata in ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {Pa} }{\mathrm {s} }}\right)}$.

Le unità di misura sono tutte intese nel Sistema Internazionale.

Questa equazione nel caso di fluido viscoso che segue la legge di Newton-Stokes e la legge di Fourier si riduce a:

${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=\nabla \cdot (\lambda \nabla T)+\mu \nabla ^{2}u}$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• ${\displaystyle \rho }$ è la densità, ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}\right)}$;
• ${\displaystyle c_{p}}$ è la capacità termica specifica a pressione costante, ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {K} }}\right)}$;
• ${\displaystyle \lambda }$ è la conduttività termica ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} \cdot \mathrm {K} }}\right)}$
• ${\displaystyle \mu }$ è la viscosità dinamica ${\displaystyle (\mathrm {Pa} \cdot \mathrm {s} )}$
• ${\displaystyle T}$ è la temperatura ${\displaystyle (\mathrm {K} )}$.

Nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:

${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=\lambda \nabla ^{2}T+\mu \nabla ^{2}u}$

ovvero:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=\alpha \nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v}$,

in cui (relativamente al fluido in esame):

• ${\displaystyle \alpha }$ è la diffusività termica;
• ${\displaystyle \nu }$ è la diffusività cinematica.

Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando questa equazione. Si pone ${\displaystyle T'={\frac {T-T_{0}}{\nabla ^{2}T}}}$ e ${\displaystyle \nabla '=L\nabla }$ risulta che:

${\displaystyle \left(\mathbf {u} \cdot {\frac {\nabla '}{L}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)T'\nabla ^{2}T=\alpha {\frac {\nabla '^{2}}{L^{2}}}T'\nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v}$,

perciò:

${\displaystyle \left({\frac {L}{\alpha }}\mathbf {u} \cdot \nabla '+{\frac {\partial }{\partial \left({\frac {\alpha }{L^{2}}}t\right)}}\right)T'=\nabla '^{2}T'+{\frac {\nu }{\alpha }}{\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\Phi }$,

ora ${\displaystyle (\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} )'={\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\nabla ^{2}u}$ è l'adimensionale cercato:

quindi l'equazione di bilancio dell'energia diventa:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} 'T'}{\mathrm {D} 't}}=\nabla '^{2}T'+\mathrm {Pr} \nabla '^{2}u'}$

Interpretazione fisica

Valori tipici del numero di Prandtl sono:

• circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;^[3]
• tra 100 e 40000 nel caso degli oli motore;
• circa 0,015 per il mercurio.
• circa 7 per l'acqua (a 20 °C).

Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle^{[senza fonte]}, per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.

Applicazioni